Question

1．如圖，設(shè)拋物線y=ax²+x+c與x軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A（1，0）、B（m，0），對(duì)稱軸為直線x=-1，頂點(diǎn)記為點(diǎn)C．且∠ACB=90°．
（1）求m的值和拋物線的解析式；
（2）已知過(guò)點(diǎn)A的直線y=-x+1交拋物線于另一點(diǎn)E．若點(diǎn)P在x軸上，以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△AEB相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，△BCP的外接圓半徑等于$\frac{\sqrt{26}}{2}$或$\frac{2\sqrt{13}}{5}$．（直接寫答案）

Answer 1

分析 （1）由二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性、對(duì)稱軸及A點(diǎn)坐標(biāo)，可求出m值，利用直角三角形可以求出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用交點(diǎn)式和C點(diǎn)坐標(biāo)，求出二次函數(shù)解析式；
（2）聯(lián)立直線AE和二次函數(shù)的解析式即可求得E點(diǎn)的坐標(biāo)，此時(shí)可發(fā)現(xiàn)∠ABE=45°，若以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，可考慮兩種情況：①△BCP∽△AEB，②△BCP∽△ABE；根據(jù)上述兩種情況所得到的不同比例線段即可求出BP的長(zhǎng)，從而確定P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）根據(jù)三角形外接圓性質(zhì)，可知．外接圓心在三角形三邊垂直平分線上，因此只需求出三角形兩邊垂直平分線的直線解析式，聯(lián)立方程組，即可求出三角形外接圓圓心，然后利用兩點(diǎn)之間距離公式，即可求出三角形外接圓半徑．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+x+c與x軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A（1，0）、B（m，0），對(duì)稱軸為直線x=-1，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，0），
即m=-3，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，-2），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）（x+3），
將點(diǎn)C（-1．-2）代入，
則a=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$；
（2）聯(lián)立直線AE與二次函數(shù)解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+x-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$
解得：x₁=1，x₂=-5
∴E（-5，6）
∴AE=6$\sqrt{2}$，AB=4，BC=2$\sqrt{2}$，
∵∠BAE=∠BCP=45°
∴△BCP與△ABE相似分為以下兩種情況：
①當(dāng)△BCP∽△ABE時(shí)得：
$\frac{AB}{BC}=\frac{AE}{BP}$，
∴$\frac{4}{2\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{BP}$
∴BP=6
P（3，0）

②當(dāng)△BCP∽△AEB時(shí)得：
$\frac{AB}{BP}=\frac{AE}{BC}$
∴$\frac{4}{BP}=\frac{6\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$
∴BP=$\frac{4}{3}$
∴P（-$\frac{5}{3}$，0）

綜上所述：P（3，0）或P（-$\frac{5}{3}$，0）．
（3）當(dāng)點(diǎn)P（3，0）時(shí)
線段BP的垂直平分線為x=0
線段BC的垂直平分線為y=x+1
聯(lián)立方程組：$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=x+1}\end{array}\right.$
解得圓心坐標(biāo)為（0，1）
∴外接圓半徑為$\sqrt{（0+3）^{2}+（1-0）^{2}}$=$\sqrt{10}$
同理：當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（-$\frac{5}{3}$，0）
線段BP的垂直平分線為x=-$\frac{7}{3}$
線段BC的垂直平分線為y=x+1
聯(lián)立方程組：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{7}{3}}\\{y=x+1}\end{array}\right.$
解得圓心坐標(biāo)為（-$\frac{7}{3}$，-$\frac{5}{3}$）
∴外接圓半徑為$\frac{\sqrt{29}}{3}$
綜上所述：外接圓半徑為$\sqrt{10}$或$\frac{\sqrt{29}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題目很好地將二次函數(shù)、三角形相似、圓知識(shí)點(diǎn)很好地結(jié)合，既考查了學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)寬度，也考察學(xué)生知識(shí)掌握的深度，是很不錯(cuò)的題目．