Question

如圖，已知正比例函數(shù)y=kx的圖象與反比例函數(shù)y=

15-k

x

的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在x軸上取關(guān)于原點(diǎn)對稱的P、Q兩點(diǎn)（P點(diǎn)在Q點(diǎn)的右邊），試問：四邊形AQBP一定是一個什么形狀的四邊形？并說明理由；
（3）上述四邊形AQBP能否為矩形？若能，請求出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)和矩形AQBP的面積；
若不能，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，t），把A（2，t）分別代入y=kx和y=

15-k

x

可求出k=3，t=6，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，6），再根據(jù)正比例函數(shù)圖象和反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)得到點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以B點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-6）；
（2）如圖，由點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱得到OA=OB，由點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對稱得到OP=OQ，則根據(jù)平行四邊形的判定方法即可判斷四邊形AQBP為平行四邊形；
（3）當(dāng)AB=PQ時，即OA=OP=OQ，平行四邊形APBQ為矩形，利用兩點(diǎn)間的距離公式計算出OA=2

10

，OP=OQ=2

10

，則可得到P點(diǎn)坐標(biāo)為（2

10

，0），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（-2

10

，0），然后根據(jù)三角形面積公式和矩形的面積=2S_△APQ進(jìn)行計算．

解答：解：（1）設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，t），
把A（2，t）分別代入y=kx和y=

15-k

x

得

t=2k t= 15-k 2

，
解得

k=3 t=6

，
所以A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，6），
因?yàn)檎�比例函�?shù)y=3x的圖象與反比例函數(shù)y=

12

x

的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，則點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，
所以B點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-6）；
（2）如圖，四邊形AQBP一定是一個平行四邊形．理由如下：
因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，
所以O(shè)A=OB，
又因?yàn)辄c(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，
所以O(shè)P=OQ，
所以四邊形AQBP為平行四邊形；
（3）四邊形AQBP能為矩形．
當(dāng)AB=PQ時，即OA=OP=OQ，平行四邊形APBQ為矩形，
因?yàn)镺A=

22+62

=2

10

，
所以O(shè)P=2

10

，
所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（2

10

，0），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（-2

10

，0），
所以矩形的面積=2S_△APQ=2×

1

2

×4

10

×6=24

10

．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：熟練掌握反比例函數(shù)和正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)、平行四邊形和矩形的判定方法；會運(yùn)用原點(diǎn)對稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)間的距離公式．