Question

3．已知△ADC和△BCE均為等腰直角三角形，F是AB的中點，探究DF與EF的關系．

Answer 1

分析 延長DF到G，使FG=DF，連接DE，EG，GD，證得△AFD≌△BFG，根據全等三角形的性質得到BG=AD，∠GBF=∠A根據等腰直角三角形的性質得到AD=DC，CE=BE，∠A=∠DCA=∠ECB=∠EBC=45°，根據角的和差關系求得∠DCE=∠EBG推出△DCE≌△GBE，根據全等三角形的性質得到DE=EG，如何有等腰三角形的性質即可得到結論．

解答 解：延長DF到G，使FG=DF，連接DE，EG，GD，
∵F是AB的中點，
∴AF=BF，
∵∠DFA=∠EFB，
在△AFD與△BFG中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=FG}\\{∠AFD=∠BFG}\\{DF=FG}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△BFG，
∴BG=AD，∠GBF=∠A，
∵△ADC和△BCE均為等腰直角三角形，
∴AD=DC，CE=BE，∠A=∠DCA=∠ECB=∠EBC=45°，
∴∠DCE=180°-∠DCA-∠ECB=180°-45°-45°=90°，∠EBG=∠EBC+∠FBG=∠EBC+∠A=45°+45°=90°，
∴∠DCE=∠EBG，
∴BG=CD，
在△DCE與△GBE中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=BG}\\{∠DCE=∠EBG}\\{CE=BE}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△GBE，
∴DE=EG，
∵DF=FG，
∴EF⊥DG，
∴DF⊥EF．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，正確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．