Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A（6，0），C（-4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D、點(diǎn)E同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿x軸正半軸，y軸正半軸向點(diǎn)A、點(diǎn)B方向移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)D、E同時(shí)停止移動(dòng)．過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G，作點(diǎn)E關(guān)于直線DF的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接FE′，射線DE′交AB于點(diǎn)H．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
①t為何值時(shí)點(diǎn)E′恰好在拋物線上，并求此時(shí)△DE′F與△ADG重疊部分的面積；
②點(diǎn)P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一時(shí)刻，形成以點(diǎn)A、E′、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，那么請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得解析式；
（2）①根據(jù)題意設(shè)E′（2t，t），代入拋物線的解析式即可求得t的值，進(jìn)而求得D、E′的坐標(biāo)，根據(jù)A（6，0），B（0，3）求得直線AB的解析式，根據(jù)D（2，0），E′（4，2）求得直線DE′的解析式，進(jìn)而求得G、H的坐標(biāo)，即可求得三角形DGH的面積，即是△DE′F與△ADG重疊部分的面積；
②根據(jù)菱形的性質(zhì)分三種情況分別討論即可求得P的坐標(biāo)；

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A（6，0），C（-4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，3）．
∴

36a+6b+c=0 16a-4b+c=0 c=3

，解得

a=- 1 8 b= 1 4 c=3

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

8

x²+

1

4

x+3；

（2）①根據(jù)題意設(shè)E′（2t，t），
∴t=-

1

8

×4t²+

1

4

×t+3，解得：t=2，t=-3（舍去），
∴D（2，O），E′（4，2）
∵A（6，0），B（0，3）．
∴直線AB為y=-

1

2

x+3，
把x=2代入得y=-

1

2

×2+3=2，
∴G（2，2），
∵D（2，0），E′（4，2），
∴直線DE′的解析式為y=x-2，
解

y=- 1 2 x+3 y=x-2

，得

x= 10 3 y= 4 3

，
∴H（

10

3

，

4

3

），
∴S_△DGH=

1

2

×2×（

10

3

-2）=

4

3

，
∴t為2時(shí)點(diǎn)E′恰好在拋物線上，此時(shí)△DE′F與△ADG重疊部分的面積為

4

3

；
②如圖，當(dāng)AD為對(duì)角線時(shí)，∵A（6，0），D（2，0），E′（4，2），以點(diǎn)A、E′、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，
則DE′=AE′，
∴E′和P關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴P（4，-2）
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，-2）；
當(dāng)AD、DE是邊時(shí)；∵AD=6-t，菱形ADE′P
∴E'P=AD=DE′=6-t
∵E'（2t，t），D（t，0）
∴DE′²=t²+t²=2t²
∴2t²=（6-t）²
∴t₁=-6+6

2

，t₂=-6-6

2

（舍去），
∵P（t+6，t）
∴P（6

2

，-6+6

2

），
當(dāng)AD、AE是邊時(shí)；∵AD=6-t，菱形AE'PD
∴E'P=AD=AE′=6-t，
∵E'（2t，t），D（t，0），
∵AE′²=（6-2t）²+t²，
∴（6-2t）²+t²=（6-t）²，
∴t₃=3，t₄=0（舍去），
∴P（3，3）．
綜上，P（4，-2）或P（6

2

，-6+6

2

）或（3，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求解析式，直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，三角形的面積，以及菱形的性質(zhì)等，本題的關(guān)鍵是確定D的坐標(biāo)．