Question

8．已知，如圖，△ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長BC到E，使CE=CD，過D作DF⊥BE于F．
（1）求證：BD=DE；
（2）請猜想FC與BF間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 （1）因為△ABC是等邊三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°，BD是AC邊上的高，則∠DBC=30°，再由題中條件求出∠E=30°，即可判斷△BDE的形狀．
（2）根據(jù)30°所對的直角邊等于斜邊的一半，得出DC=2FC，BC=2DC，從而證得BF=3FC．

解答 （1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD⊥AC，
∴AD=CD，∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠E=30°，
∴∠DBE=∠E，
∴BD=DE；
（2）BF=3FC；
證明：∵DF⊥BE，∠BCD=60°，
∴DC=2FC，
∵BD⊥AC，∠DBC=30°，
∴BC=2DC，
∴BC=4FC，
∴BF=3FC．

點評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，30°所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．