【題目】已知如圖,直線AB交x軸于點A,交y軸于點B,AB=,tan∠BAO=3.
(1)求直線AB的解析式;
(2)直線y=kx+b經(jīng)過點B交x軸交于點C,且∠ABC=45°,AD⊥BC于點D.動點P從點C出發(fā),沿CB方向以每秒個單位長度的速度向終點B運動,運動時間為t,設(shè)△ADP的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出自變量t的取值范圍.
(3)在(2)的條件下,點P在線段BD上,點F在線段AB上,∠APC=∠FPB,連接AP,過點F作FG⊥AP于點G,交AD于點H,若DP=DH,求點P的坐標(biāo).
【答案】(1)y=3x+6;(2)當(dāng)0≤t<1時,S=5﹣5x,當(dāng)1<t≤3時,S=5x﹣5;(3)點P(,)
【解析】
(1)由三角函數(shù)和勾股定理可求點A,點B坐標(biāo),用待定系數(shù)法可求解析式;
(2)如圖1,過點D作EF⊥AC,交AC于點F,過點B作BE⊥EF,垂足為E,由“AAS”可證△BDE≌△DAF,可得DF=BE,DE=AF,可求點D坐標(biāo),可求BC解析式,由勾股定理可求BC的長,由面積公式可求解;
(3)如圖2,過點B作BN⊥AB交AP延長線于N,由“ASA”可證△BPN≌△BPF,可得BN=BF,PN=PF,由“AAS”可證△AHF≌△BPN,可得AF=BN,PN=FH,可求點F坐標(biāo),由兩點距離公式可求BF==BN,通過證明△MNP∽△DAP,可得,可求PD的長,由兩點距離公式可求點P坐標(biāo).
解:(1)∵tan∠BAO=3=,
∴BO=3AO,
∵AB2=AO2+BO2=40,
∴AO=2,BO=6,
∴點A(﹣2,0),點B(0,6)
設(shè)直線AB解析式為:y=kx+6,
∴0=﹣2k+6,
∴k=3,
∴直線AB解析式為:y=3x+6;
(2)如圖1,過點D作EF⊥AC,交AC于點F,過點B作BE⊥EF,垂足為E,
∴四邊形BEFO是矩形,
∴BO=EF=6,OF=BE,
∵∠ABC=45°,AD⊥BC,
∴∠ABC=∠BAD=45°,
∴AD=BD,
∵∠ADB=90°=∠AFD,
∴∠BDE+∠ADF=90°,∠ADF+∠DAF=90°,
∴∠BDE=∠DAF,且BD=AD,∠E=∠AFD=90°,
∴△BDE≌△DAF(AAS)
∴DF=BE,DE=AF,
∵EF=ED+DF=AO+OF+OF=2+2OF=6
∴OF=2,
∴點D坐標(biāo)(2,2),
設(shè)BC解析式為:y=ax+6,
∴2=2a+6,
∴a=﹣2,
∴直線BC解析式為:y=﹣2x+6,
∴當(dāng)y=0時,x=3,
∴點C(3,0),
∴OC=3,
∴BC==3,
∵AB=2,且∠ABC=45°,AD⊥BC,
∴AD=BD=2,
∴CD=,
當(dāng)0≤t<1時,S=×2×(﹣x)=5﹣5x,
當(dāng)1<t≤3時,S=×2×(x﹣)=5x﹣5;
(3)如圖2,過點B作BN⊥AB交AP延長線于N,過點N作MN⊥BC于M,
∵AD=BD,DH=PD,
∴AH=BP,
∵BN⊥AB,∠ABC=45°,
∴∠ABC=∠NBP=45°,且∠APC=∠BPN=∠BPF,BP=BP,
∴△BPN≌△BPF(ASA)
∴BN=BF,PN=PF,
∵FH⊥AP,
∴∠AGF=∠ABN=90°,
∴∠FAG+∠AFG=90°,∠FAG+∠N=90°,
∴∠AFG=∠N,且∠BAD=∠PBN=45°,AH=BP,
∴△AHF≌△BPN(AAS)
∴AF=BN,PN=FH,
∴BF=AF,FH=FP,
∴點F是AB中點,
∴點F坐標(biāo)(﹣1,3)
∴BF==BN,
∵∠NBM=45°,
∴BM=MN=,
∴MD=BD﹣BM=,
∵MN⊥BC,AD⊥BC,
∴AD∥MN,
∴△MNP∽△DAP,
∴
∴,且MP+PD=
∴PD=
設(shè)點P(x,﹣2x+6),
∴(x﹣2)2+(﹣2x+6﹣2)2=,
∴x=,x=(不合題意舍去)
∴點P(,)
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【題目】在一個不透明的口袋里裝有若干個質(zhì)地相同的紅球,為了估計袋中紅球的數(shù)量,某學(xué)習(xí)小組做了摸球試驗,他們將30個與紅球大小形狀完全相同的白球裝入袋中,攪勻后從中隨機摸出1個球并記下顏色,再把它放回袋中,多次重復(fù)摸球.下表是多次摸球試驗匯總后統(tǒng)計的數(shù)據(jù):
摸球的次數(shù) | 150 | 200 | 500 | 900 | 1 000 | 1 200 |
摸到白球的頻數(shù) | 51 | 64 | 156 | 275 | 303 | 361 |
摸到白球的頻率 | 0.320 | 0.312 | 0.306 | 0.303 | 0.302 | 0.301 |
(1)請估計:當(dāng)摸球的次數(shù)很大時,摸到白球的頻率將會接近______;假如你去摸一次,你摸到紅球的概率是______;(精確到0.1)
(2)試估計口袋中紅球有多少個.
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【題目】如圖1,四邊形ABGC內(nèi)接于⊙O,GA平分∠BGC.
(1)求證:AB=AC;
(2)如圖2,過點A作AD∥BG交CG于點D,連接BD交線段AG于點W,若∠BAG+∠CAD=∠AWB,求證:BD=BG;
(3)在(2)的條件下,若CD=5,BD=16,求WG的長.
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【題目】某課外活動小組準(zhǔn)備圍建一個矩形生物苗圃,其中一邊靠墻,另三邊用長為米的籬笆圍成,已知墻長為米(如圖所示),設(shè)這個苗圃垂直于墻的一邊的長為米.
(1)垂直于墻的一邊邊的長為多少米時,這個苗圃的面積最大,并求出這個最大值;
(2)當(dāng)這個苗圃的面積不小于平方米時,試結(jié)合函數(shù)圖象,直接寫出的取值范圍.
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【題目】如圖,在等腰△ABC中,AB=AC,tan∠CAB=,AD=AB,AH⊥BD于點H,連接CD交AH于點E,連接BE,BE=,則BD的長為_____.
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【題目】如圖,拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交于點A(1,0),點B(3,0),與y軸交于點C,點D是該拋物線的頂點,連接AD,BD.
(1)求△ABD的面積;
(2)點P是拋物線上的一動點,且點P在x軸上方,若△ABP的面積是△ABD面積的,求點P的坐標(biāo).
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【題目】用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?/span>
(1)(x﹣1)2=4
(2)(x﹣3)2=2x(3﹣x)
(3)2x2+5x﹣1=0
(4)(x﹣1)(x﹣3)=8
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,BD=2AD,E、F、G分別是OC、OD、AB的中點,下列結(jié)論:①BE⊥AC;②四邊形BEFG是平行四邊形;③△EFG≌△GBE;④EG=EF,其中正確的個數(shù)是( 。
A.1B.2C.3D.4
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【題目】(12分)菱形ABCD中,兩條對角線AC,BD相交于點O,∠MON+∠BCD=180°,∠MON繞點O旋轉(zhuǎn),射線OM交邊BC于點E,射線ON交邊DC于點F,連接EF.
(1)如圖1,當(dāng)∠ABC=90°時,△OEF的形狀是 ;
(2)如圖2,當(dāng)∠ABC=60°時,請判斷△OEF的形狀,并說明理由;
(3)在(1)的條件下,將∠MON的頂點移到AO的中點O′處,∠MO′N繞點O′旋轉(zhuǎn),仍滿足∠MO′N+∠BCD=180°,射線O′M交直線BC于點E,射線O′N交直線CD于點F,當(dāng)BC=4,且時,直接寫出線段CE的長.
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