Question

15．如圖，已知∠ABE=90°，點(diǎn)D在∠ABE的角平分線上，將一個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)在D點(diǎn)處，兩直角邊分別交AB，BE于M，N，點(diǎn)K到△BMN三邊的距離相等，連接DK．
（1）如圖1，若點(diǎn)K在△BMN內(nèi)部，則DK與DN有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論．
（2）若將三角形繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，若點(diǎn)K在△BMN的外部，問（1）中的結(jié)論還成立嗎？試證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）連接KN，延長(zhǎng)DK交于B點(diǎn)，D在∠MBN的平分線上，點(diǎn)K為△BNM的內(nèi)心，得到DK必交于B點(diǎn)，推出B、M、D、N四點(diǎn)共圓，由圓周角定理得到∠DBM=∠DNM，由點(diǎn)K為△BNM的內(nèi)心，得到∠BNK=∠MNK根據(jù)外角的性質(zhì)得到∠DKN=∠DNK，由等腰三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；
（2）連接KN，推出B、M、D、N四點(diǎn)共圓，由點(diǎn)D在∠ABE的角平分線上，得到∠ABD=∠NBD=45°，求得∠DBM=135°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠DNM=45°，由點(diǎn)K到△BMN三邊的距離相等，得到NK平分∠BNM，由角平分線的定義得到∠BNK=∠MNK，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠DNK=∠DNM-∠KNM，∠K=∠DBN-∠BNK，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接KN，延長(zhǎng)DK交于B點(diǎn)，
∵D在∠MBN的平分線上，點(diǎn)K為△BNM的內(nèi)心，
∴DK必交于B點(diǎn)，
∵∠ABE=∠MDN=90°，
∴B、M、D、N四點(diǎn)共圓，
∴∠DBM=∠DNM，
∵點(diǎn)K為△BNM的內(nèi)心，
∴KN為∠BNM的平分線，
∴∠BNK=∠MNK
∵∠DKN=∠KBN+∠BNK，∠KBN=∠DNM，∠DNK=∠MNK+∠DNM，
∴∠DKN=∠DNK，
∴DK=DN；

（2）連接KN，
∵∠MDN=∠MBN=90°，
∴B、M、D、N四點(diǎn)共圓，
∵點(diǎn)D在∠ABE的角平分線上，
∴∠ABD=∠NBD=45°，
∴∠DBM=135°，
∴∠DNM=45°，
∵點(diǎn)K到△BMN三邊的距離相等，
∴NK平分∠BNM，
∴∠BNK=∠MNK，
∵∠DNK=∠DNM-∠KNM，∠K=∠DBN-∠BNK，
∴∠DNK=∠K，
∴DN=DK．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)心的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．