Question

2．在平面直角坐標系中，坐標軸上的兩個點A（a，0）、B（0，b）、（a＜0，b＞0），滿足$\root{3}{a+b}$=$\sqrt{c-3}$+$\sqrt{3-c}$．
（1）c的值為3，∠ABO的度數(shù)為45°；
（2）如圖1，點E是線段OB（端點除外）上一點，過點B作BF⊥AE交AE的延長線于點F，過點O作OM∥AB交BF的延長線于點M，連接EM，求證：∠BEF=∠OEM；
（3）如圖2，在第四象限有一點H，滿足∠HBO=2∠HAO，BH交x軸于點D，且點O在線段AH的垂直平分線上，求S_△ABD：S_△ABH的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)$\root{3}{a+b}$=$\sqrt{c-3}$+$\sqrt{3-c}$，求得c=3，a=-b，得到OA=OB，即可得到結(jié)論；
（2）如圖1，延長BM交x軸于G，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量代換得到∠MOG=∠BAO=∠MOE=45°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠BGO=∠AEO，推出△AOE≌△BOG，由全等三角形的性質(zhì)得到OE=OG，證得△MOE≌△MOG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）連接OH，由點O在線段AH的垂直平分線上，得到OA=OH，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DOH=∠HAO+∠AHO=2∠HAO，推出∠BDO=∠DOH+∠OHD=2∠OHD=2∠HBO，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BH=BD+DH=BD+$\frac{1}{2}BD=\frac{3}{2}BD$，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵$\root{3}{a+b}$=$\sqrt{c-3}$+$\sqrt{3-c}$，
∴c=3，a=-b，
∴OA=OB，
∵OA⊥OB，
∴∠ABO=45°；

（2）如圖1，延長BM交x軸于G，
∵OM∥AB，
∴∠MOG=∠BAO=∠MOE=45°，
∵BF⊥AE，
∴∠BEF=∠AEO=90°-∠OBG=∠BGO，
∴∠BGO=∠AEO，
在△AOE與△BOG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BGO=∠AEO}\\{∠AOE=∠BOG}\\{AO=BO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BOG，
∴OE=OG，
在△MOE與△MOG中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OG}\\{∠EOM=∠GOM}\\{OM=OM}\end{array}\right.$，
∴△MOE≌△MOG，
∴∠OEM=∠BGO=∠BEF，

（3）如圖2，連接OH，
∵點O在線段AH的垂直平分線上，
∴OA=OH，
∴∠DOH=∠HAO+∠AHO=2∠HAO，
∵∠HBO=2∠OHD，
∴∠HBO=∠DOH，
∵OA=OB，
∴OB=OH，
∴∠HBO=∠OHD，
∴∠BDO=∠DOH+∠OHD=2∠OHD=2∠HBO，
在Rt△BOD中，∠OBD=30°，∠BDO=60°，
∴$OD=\frac{1}{2}BD$，BH=BD+DH=BD+$\frac{1}{2}BD=\frac{3}{2}BD$，
∴S_△ABD：S${\;}_{△ABH}=BD：BH=BD：\frac{3}{2}BD=2：3$．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，坐標與圖形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．