Question

7．如圖，有一管道要橫跨一條河流，為了確保船只的通行，要把直管制成弧形，且要求管道距水面的最大高度為6m（即拱形高CD=6m），AB=12$\sqrt{3}$m，至少需要多少米長的直管？

Answer 1

分析 由垂徑定理可知AC=6$\sqrt{3}$，在Rt△ACO中利用勾股定理可求得AO=12，由特殊銳角三角函數(shù)可知∠AOC=60°，∠AOB=120°，所以管道的長度為$\frac{1}{3}$圓周長．

解答 解：∵OC⊥AB，AB=12$\sqrt{3}$，
∴AC=6$\sqrt{3}$．
設(shè)圓O的半徑為r，則OA=r，OC=r-6．
在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO²=OC²+AC²，即${r}^{2}=（r-6）^{2}+（6\sqrt{3}）^{2}$．
解得：AO=12．
∴$\frac{AC}{AO}=\frac{6\sqrt{3}}{12}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴∠AOC=60°．
∴∠AOB=120°．
∴直管的長度=$\frac{1}{3}×2π×r$=$\frac{1}{3}×2×π×12$=8πm．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是垂徑定理、勾股定理、特殊銳角三角函數(shù)值，求得圓O的半徑和∠AOB的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．