Question

12．在△POQ中，∠POQ=120°，∠POQ的平分線OR交PQ于點R．求證：$\frac{1}{OR}$=$\frac{1}{OP}$+$\frac{1}{OQ}$．

Answer 1

分析 首先過點Q作QH∥OP，交OR的延長線于點H，證得△POR∽△QHR和△HOQ是等邊三角形，進一步利用三角形的邊關系整理得出答案即可．

解答 解：如圖，

過點Q作QH∥OP，交OR的延長線于點H，
∵QH∥OP，
∴△POR∽△QHR，∠POR=∠H，
∴$\frac{HQ}{PO}$=$\frac{HR}{OR}$，
∵∠POQ=120°，∠POQ的平分線OR交PQ于點R，
∴∠POR=∠H=60°，
∴△HOQ是等邊三角形，
∴OH=HQ=OQ，
∴$\frac{HQ}{PO}$=$\frac{HR}{OR}$=$\frac{OH-OR}{OR}$=$\frac{OH}{OR}$-1，
∴$\frac{HQ}{PO}$+1=$\frac{OH}{OR}$，
兩邊同除以OQ得$\frac{1}{OR}$=$\frac{1}{OP}$+$\frac{1}{OQ}$．

點評 此題考查三角形相似的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，掌握三角形相似的判定方法，正確作出輔助線是解決問題的關鍵．