Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=

1

2

x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（-1，0）、（4，0）．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）若P是拋物線上一點(diǎn)，且∠PAB=∠OBC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式后求得拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AP₁∥BC交拋物線于P₁點(diǎn)，分別求得直線BC和直線AP₁的解析式，聯(lián)立之后即可求得交點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）將A（-1，0）、B（4，0）代入y=

1

2

x2+bx+c
得 

0= 1 2 -b+c 0=8+4b+c

，解得

b=- 3 2 c=-2

∴拋物線的表達(dá)式為y=

1

2

x²-

3

2

x-2，
將x=0代入y=

1

2

x²-

3

2

x-2得y=-2，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2）；

（2）過(guò)點(diǎn)A作AP₁∥BC交拋物線于P₁點(diǎn)，
則∠P₁AB=∠OBC，
∴點(diǎn)P₁即為所求．
由B（4，0）、C（0，-2）求得直線BC的表達(dá)式為y=

1

2

x-2
∵AP₁∥BC，
∴可設(shè)直線AP₁的表達(dá)式為y=

1

2

x+m
將點(diǎn)A（-1，0）代入求得直線AP₁的表達(dá)式為y=

1

2

x+

1

2

聯(lián)立方程組

y= 1 2 x2- 3 2 x-2 y= 1 2 x+ 1 2

，解得

x   1 =-1 y1=0

，

x   2 =5 y2=3

∴點(diǎn)P₁坐標(biāo)為（5，3），
∵由拋物線的對(duì)稱性求得點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)P₂（3，-2），由于點(diǎn)A、B也關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，
則∠P₂AB=∠OBC，
∴點(diǎn)P₂（3，-2）也為所求．
綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（5，3）或（3，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式等知識(shí)．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．