Question

把一副三角板如圖甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，BC=

3

+1．斜邊AB、DC相交于點(diǎn)O．

（1）求CO的長(zhǎng)；
（2）若把三角板DCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°得到△D₁CE₁（如圖乙），這時(shí)AB與CD₁相交于點(diǎn)O₁，此時(shí)，
求：CO₁的長(zhǎng)；
（3）若把三角板D₁CE₁繞著點(diǎn)C順時(shí)針再旋轉(zhuǎn)15°得△D₂CE₂（如圖丙），這時(shí)AB與CD₂相交于點(diǎn)O₂，此時(shí)，求：CO₂的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）過點(diǎn)O作OH⊥BC于點(diǎn)H．易知∠HOB=∠B，OH=HB，再求得∠COH=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得OC=2CH，再由三角函數(shù)的定義可得HB=OH=

3

CH．CH+

3

CH=

3

+1，求得CH的值，即可得OC；
（2）由題意知∠BCE₁=15°，可求得∠O₁CB=∠B．由三角形的內(nèi)角和定理可得∠CO₁B=90°，再由三角函數(shù)的定義可得CO₁=BC•sin∠B；
（3）由于旋轉(zhuǎn)角均為15°，且在乙圖中CO₁⊥AB，所以CO₂與CO在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中關(guān)于直線CO₁成軸對(duì)稱．由軸對(duì)稱的性質(zhì)得CO₂=CO=2．

解答：解：（1）過點(diǎn)O作OH⊥BC于點(diǎn)H．

在Rt△OHB中，∠HOB=90°-∠B=45°=∠B
∴OH=HB．
∵在Rt△DCE中，∠DCE=90°-∠D=60°
∴在Rt△OHC中，∠COH=90°-∠OCH
=90°-60°=30°
∴OC=2CH．
又∵OH=CH•tan∠OCH=

3

CH，
∴HB=OH=

3

CH．
又∵CH+HB=CB，
∴CH+

3

CH=

3

+1．
∴CH=1．
∴CO=2CH=2；
（2）∵∠BCE₁=15°
∴∠O₁CB=60°-15°=45°=∠B．
∴∠CO₁B=180°-（45°+45°）=90°
∴CO₁=BC•sin∠B=

2

2

(

3

+1)=

6

2

+

2

2

；
（3）從甲圖到丙圖的過程中，由于旋轉(zhuǎn)角均為15°，且在乙圖中CO₁⊥AB，所以CO₂與CO在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中關(guān)于直線CO₁成軸對(duì)稱．
所以CO₂=CO=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)變換的綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角函數(shù)的定義等知識(shí)，難度較大．