【題目】【操作發(fā)現(xiàn)】
如圖①,在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.
(1)請(qǐng)按要求畫(huà)圖:將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′,連接BB′;
(2)在(1)所畫(huà)圖形中,∠AB′B= .
【問(wèn)題解決】
如圖②,在等邊三角形ABC中,AC=7,點(diǎn)P在△ABC內(nèi),且∠APC=90°,∠BPC=120°,求△APC的面積.
小明同學(xué)通過(guò)觀察、分析、思考,對(duì)上述問(wèn)題形成了如下想法:
想法一:將△APC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°,得到△AP′B,連接PP′,尋找PA,PB,PC三條線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系;
想法二:將△APB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°,得到△AP′C′,連接PP′,尋找PA,PB,PC三條線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系.
…
請(qǐng)參考小明同學(xué)的想法,完成該問(wèn)題的解答過(guò)程.(一種方法即可)
【靈活運(yùn)用】
如圖③,在四邊形ABCD中,AE⊥BC,垂足為E,∠BAE=∠ADC,BE=CE=2,CD=5,AD=kAB(k為常數(shù)),求BD的長(zhǎng)(用含k的式子表示).
【答案】【操作發(fā)現(xiàn)】(1)作圖見(jiàn)解析;(2)45°;【問(wèn)題解決】7;【靈活運(yùn)用】.
【解析】試題分析:【操作發(fā)現(xiàn)】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)角,旋轉(zhuǎn)方向畫(huà)出圖形即可;(2)只要證明△ABB′是等腰直角三角形即可;【問(wèn)題解決】如圖②,將△APB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°,得到△AP′C′,只要證明∠PP′C=90°,利用勾股定理即可解決問(wèn)題;【靈活運(yùn)用】如圖③中,由AE⊥BC,BE=EC,推出AB=AC,將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACG,連接DG.則BD=CG,只要證明∠GDC=90°,可得CG= ,由此即可解決問(wèn)題.
試題解析:【操作發(fā)現(xiàn)】(1)如圖所示,△AB′C′即為所求;
(2)連接BB′,將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°,
∴AB=AB′,∠B′AB=90°,
∴∠AB′B=45°,
故答案為:45°;
【問(wèn)題解決】如圖②,
∵將△APB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°,得到△AP′C′,
∴△APP′是等邊三角形,∠AP′C=∠APB=360°﹣90°﹣120°=150°,
∴PP′=AP,∠AP′P=∠APP′=60°,
∴∠PP′C=90°,∠P′PC=30°,
∴PP′=PC,即AP=PC,
∵∠APC=90°,
∴AP2+PC2=AC2,即(PC)2+PC2=72,
∴PC=2,
∴AP=,
∴S△APC=APPC=7;
【靈活運(yùn)用】如圖③中,∵AE⊥BC,BE=EC,
∴AB=AC,將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACG,連接DG.則BD=CG,
∵∠BAD=∠CAG,
∴∠BAC=∠DAG,
∵AB=AC,AD=AG,
∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD,
∴△ABC∽△ADG,
∵AD=kAB,
∴DG=kBC=4k,
∵∠BAE+∠ABC=90°,∠BAE=∠ADC,
∴∠ADG+∠ADC=90°,
∴∠GDC=90°,
∴CG== .
∴BD=CG=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),在數(shù)軸上分別表示有理數(shù),.
(1)對(duì)照數(shù)軸填寫(xiě)下表:
(2)若,兩點(diǎn)間的距離記為,試問(wèn)和,有何數(shù)量關(guān)系;
(3)寫(xiě)出數(shù)軸上到和的距離之和為的所有整數(shù);
(4)若表示一個(gè)有理數(shù),求的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,∠ABD、∠CDB的平分線(xiàn)BE、DF分別交邊AD、BC于點(diǎn)E、F.
(1)求證:四邊形BEDF是平行四邊形;
(2)當(dāng)∠ABE為多少度時(shí),四邊形BEDF是菱形?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】近年來(lái),我國(guó)很多地區(qū)持續(xù)出現(xiàn)霧霾天氣.某社區(qū)為了調(diào)查本社區(qū)居民對(duì)霧霾天氣主要成因的認(rèn)識(shí)情況,隨機(jī)對(duì)該社區(qū)部分居民進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查,要求居民從五個(gè)主要成因中只選擇其中的一項(xiàng),被調(diào)查居民都按要求填寫(xiě)了問(wèn)卷.社區(qū)對(duì)調(diào)查結(jié)果進(jìn)行了整理,繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表.被調(diào)查居民選擇各選項(xiàng)人數(shù)統(tǒng)計(jì)表
霧霾天氣的主要成因 | 頻數(shù)(人數(shù)) |
A大氣氣壓低,空氣不流動(dòng) | m |
B地面灰塵大,空氣濕度低 | 40 |
C汽車(chē)尾氣排放 | n |
D工廠(chǎng)造成的污染 | 120 |
E其他 | 60 |
請(qǐng)根據(jù)圖表中提供的信息解答下列問(wèn)題:
(1)填空:m=________,n=________,扇形統(tǒng)計(jì)圖中C選項(xiàng)所占的百分比為________.
(2)若該社區(qū)居民約有6 000人,請(qǐng)估計(jì)其中會(huì)選擇D選項(xiàng)的居民人數(shù).
(3)對(duì)于“霧霾”這個(gè)環(huán)境問(wèn)題,請(qǐng)你用簡(jiǎn)短的語(yǔ)言發(fā)出倡議.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,點(diǎn)M、N分別在AD、BC邊上,將矩形ABCD沿MN翻折,點(diǎn)C恰好落在AD邊上的點(diǎn)F處,若MD=1,∠MNC=60°,則AB的長(zhǎng)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于數(shù)軸上的A、B、C三點(diǎn),給出如下定義:若其中一個(gè)點(diǎn)與其它兩個(gè)點(diǎn)的距離恰好滿(mǎn)足2倍的數(shù)量關(guān)系,則稱(chēng)該點(diǎn)是其它兩個(gè)點(diǎn)的“至善點(diǎn)”.例如:若數(shù)軸上點(diǎn)A、B、C所表示的數(shù)分別為1、3、4,則點(diǎn)B是點(diǎn)A、C的“至善點(diǎn)”.
(1)若點(diǎn)A表示數(shù)﹣2,點(diǎn)B表示數(shù)2,下列各數(shù)、0、1、6所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為C1、C2、C3、C4,其中是點(diǎn)A、B的“至善點(diǎn)”的有 (填代號(hào));
(2)已知點(diǎn)A表示數(shù)﹣1,點(diǎn)B表示數(shù)3,點(diǎn)M為數(shù)軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn):
①若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè),且點(diǎn)M是點(diǎn)A、B的“至善點(diǎn)”,求此時(shí)點(diǎn)M表示的數(shù)m;
②若點(diǎn)M在點(diǎn)B的右側(cè),點(diǎn)M、A、B中,有一個(gè)點(diǎn)恰好是其它兩個(gè)點(diǎn)的“至善點(diǎn)”,求出此時(shí)點(diǎn)M表示的數(shù)m.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)y=x2﹣2mx+m2+2m+2的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).
(1)當(dāng)m=﹣2時(shí),求二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)過(guò)點(diǎn)P(0,m﹣1)作直線(xiàn)1⊥y軸,二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)A在直線(xiàn)l與x軸之間(不包含點(diǎn)A在直線(xiàn)l上),求m的范圍;
(3)在(2)的條件下,設(shè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸與直線(xiàn)l相交于點(diǎn)B,求△ABO的面積最大時(shí)m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在△ABC中,∠BAC的平分線(xiàn)AD交BC于點(diǎn)D,DE垂直平分AC,垂足為點(diǎn)E.
(1)證明∠BAD=∠C;
(2)∠BAD=29°,求∠B的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠D=∠C=90°,點(diǎn)E在DC上,且AE,BE分別平分∠BAD和∠ABC.
(1)求證:點(diǎn)E為CD中點(diǎn);
(2)當(dāng)AD=2,BC=3時(shí),求AB的長(zhǎng).
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