Question

如圖1，矩形紙片ABCD中，AB=2

3

，BC=6，將矩形沿對角線AC剪開，解答以下問題：
（1）將△ACD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，△A₁CD₁是旋轉(zhuǎn)后的新位置（圖2），
①試判斷△ACA₁的形狀，并說明理由．
②求A，A₁的距離；
（2）將△ACD沿對角線AC向下翻折（點A、點C位置不動，△ACD和△ABC落在同一平面內(nèi)），△ACD₂是翻折后的新位置（圖3），AD₂交BC于E，求AE的長．

Answer 1

考點：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得AC與CA₁的關(guān)系，根據(jù)等邊三角形的判定，可得答案；
②根據(jù)勾股定理，可得AC的長度，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得答案；
（2）根據(jù)翻折得到的圖形與原圖形相似，可得△AD₂C與△ADC的關(guān)系，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得D₂C與AB的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的判定，可得AE與CE的關(guān)系，根據(jù)勾股定理，可得AE的長．

解答：解：（1）①△ACA₁是等邊三角形，理由如下
∵將△ACD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，△A₁CD₁是旋轉(zhuǎn)后的新位置，
∴AC=CA₁，∠ACA₁=60°，
∴△ACA₁是等邊三角形；
②在△ABC中，由勾股定理，得
AC=

AB2+BC2

=4

3

，
∵△ACA₁是等邊三角形，
∴AA₁=4

3

；
（2）如圖3：
，
∵四邊形ABCD是矩形紙片，
∴AB=CD．
由翻折，得△AD₂C≌△ADC，
∴D₂C=DC，∠AD₂C=∠ADC=90°，
在△ABE和△CD₂E中，

∠ABE=∠CD2E ∠AEB=∠CED2 AB=CD2

，
∴△ABE≌△CD₂E（AAS），
∴AE=CE．
設(shè)AE=CE=x，BE=6-x，AB=2

3

，
在Rt△ABE中，由勾股定理，得
AB²+BE²=AE²，
即（2

3

）²+（6-x）²=x²，
解得x=4，
AE=4．

點評：本題考查幾何變換綜合題，利用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，題目較為簡單．