Question

函數(shù)y=y₁+y₂，且y₁=2x+m，y₂=

x

m-1

+3，這兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4．
①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
②若函數(shù)y=y₁+y₂圖象交兩坐標(biāo)軸于A、B兩點(diǎn)，將此直線沿點(diǎn)A（x軸上）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，交y軸于點(diǎn)C，求直線AC．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)圖象與幾何變換,待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式

專題：

分析：①把y=4代入兩個(gè)函數(shù)解析式，可得到兩個(gè)關(guān)于m的方程組，進(jìn)而求解；
②先求出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)△OAC∽△OBA列出比例式求出OC的長(zhǎng)，確定C點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求直線AC的解析式即可．

解答：解：①由已知，設(shè)兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，4），
則有

2x+m=4 x m-1 +3=4

，
解得

x=1 m=2

．
∵y₁=2x+m=2x+2，y₂=

x

m-1

+3=x+3，
∴y=y₁+y₂=3x+5，
故y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=3x+5；

②∵y=3x+5，
∴當(dāng)y=0時(shí)，3x+5=0，解得x=-

5

3

，∴A（-

5

3

，0）；
當(dāng)x=0時(shí)，y=5，∴B（0，5）．
在△OAC與△OBA中，

∠AOC=∠BOA=90° ∠OAC=∠OBA=90°-∠OAB

，
∴△OAC∽△OBA，
∴

OC

OA

=

OA

OB

，
∴OC=

OA2

OB

=

25 9

5

=

5

9

，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-

5

9

）．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
∵A（-

5

3

，0），C（0，-

5

9

），
∴

- 5 3 k+b=0 b=- 5 9

，
解得

k=- 1 3 b=- 5 9

，
∴直線AC的解析式為：y=-

1

3

x-

5

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用待定系數(shù)法求直線的解析式：先設(shè)直線的解析式為y=kx+b，然后把兩已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入得到關(guān)于k、b的方程組，解方程組即可．也考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，相似三角形的判定與性質(zhì)．