Question

8．如圖1，已知矩形ABCD的寬AD=8，點(diǎn)E在邊AB上，P為線段DE上一動點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)D、E不重合），∠MPN=90°，M、N分別在直線AB、CD上，過點(diǎn)P作直線HK∥AB，作PF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，過點(diǎn)N作NG⊥HK，垂足為點(diǎn)G．
（1）求證：∠MPF=∠GPN；
（2）在圖1中，將直角∠MPN繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在這一過程中，試觀察，猜想：當(dāng)MF=NG時(shí)，△MPN是什么特殊三角形？在圖2中用直尺畫出圖形，并證明你的猜想；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)∠EDC=30°時(shí)，設(shè)EP=x，△MPN的面積為S，求出S關(guān)于x的解析式，并說明S是否存在最小值？若存在，求出此時(shí)x的值和△MPN面積的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同角的余角相等即可證得；
（2）證明直角△MFP≌△直角△NGP，則MP=NP，則以點(diǎn)P、M、N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形；
（3）利用三角函數(shù)可得PF=$\frac{x}{2}$，直角△PMF中利用勾股定理即可用x表示出PM的長，則面積S即可表示成x的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)即可求得最值．

解答 解：（1）∵直線HK∥AB，PF⊥AB，
∴PF⊥HK，
∴∠MDF+∠MPG=∠MPG+∠GPM=90°，
∴∠MPF=∠GPN；
（2）以點(diǎn)P、M、N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，
證明：∵M(jìn)F=NG，∠MFP=∠NGP=90°，
由（1）得∠MPF=∠GPN，
∴△MFP和△NGP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MPF=∠GPN}\\{∠MFP=∠NGP}\\{MF=NG}\end{array}\right.$，
∴△MFP≌△△NGP，
∴MP=NP，則△MPN是等腰三角形；
（3）△MPN面積存在最小值，此時(shí)x=8，S的最小值是16．
∵∠EDC=30°，∠PEF=30°，EP=x，
∴PF=$\frac{x}{2}$，
根據(jù)題意得：PF+NG=8，
∴NG=8-$\frac{x}{2}$，
由（2）可得MF=NG=8-$\frac{x}{2}$，
在直角△PMF中，PF²+MF²=PM²，
則PM²=（$\frac{x}{2}$）²+（8-$\frac{x}{2}$）²=$\frac{{x}^{2}}{2}$-8x+6，
∵△MPN的面積是S=$\frac{1}{2}$PM²，
∴S=$\frac{1}{2}$PM²=$\frac{{x}^{2}}{4}$-4x+32=$\frac{1}{4}$（x-8）²+16，
又∵0＜x＜16，
∴當(dāng)x=8時(shí)，△MPN的面積S的最小值是16．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，正確利用x表示出面積S是本題的關(guān)鍵．