Question

19．關于x的一元二次方程x²-（m-1）x+2m-1=0：
（1）若其根的判別式為-20，求m的值；
（2）設該方程的兩個實數根為x₁，x₂，且x₁²+x₂²=10，求m的值．

Answer 1

分析 （1）利用根的判別式建立關于m的方程求得方程的根即可；
（2）由根與系數的關系得出x₁+x₂=m-1，x₁x₂=2m-1，整理代入x₁²+x₂²=10，得出關于m的方程求得m，進一步利用根的判別式驗證即可．

解答 解：（1）△=[-（m-1）]²-4（2m-1）=m²-10m+5，
∵△=-20，
∴m²-10m+5=-20
∴m²-10m+25=0
解得m₁=m₂=5
∴m=5；
（2）由根與系數的關系得x₁+x₂=m-1，x₁x₂=2m-1，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2 x₁x₂=（m-1）²-2（2m-1）=10，
∴m²-6m-7=0，
解得：m₁=7，m₂=-1，
當m₁=7時，△=m²-10m+5=-16＜0 方程無實數根，不符合意愿，舍去；
當m₂=-1時，△=m²-10m+5=16＞0符合題意．
∴m=-1．

點評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）根的判別式△=b²-4ac．當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了根與系數的關系．