Question

把19，20，21…79，80寫成連數(shù)A=192021…7980．證明：A|1980．

Answer 1

考點：數(shù)的整除性

專題：證明題

分析：先把1980分解為4×5×9×11，根據(jù)這個數(shù)A的末位數(shù)字為80，可以整除4和5，然后證明這個數(shù)A可以被9和11整除，即可證得A是1980的倍數(shù)．

解答：解：1980=4×5×9×11，
∵連數(shù)A=192021…7980，末位數(shù)字為80可以被4和5整除，
∴192021…7980可以被4和5整除，
∵數(shù)字192021…7980所有奇數(shù)位之和為：1+（2+3+4+5+6+7）×10+8=279，
數(shù)字192021…7980所有偶數(shù)位之和為：9+（0+1+2+3+4+5+6+7+8+9）×6+0=279，
奇數(shù)位數(shù)字之和=偶數(shù)位數(shù)字之和，
∴這個數(shù)可以被11整除，
又∵這個數(shù)所有數(shù)字之和=279+279=588可以被9整除，
∴這個數(shù)可以被9整除，
綜上所述，A=192021…7980可以同時被4，5，9，11整除，
∴A是1980的倍數(shù)．

點評：本題考查了數(shù)的整除性，解答本題的關(guān)鍵先把數(shù)1980分解為4×5×9×11，分別證明數(shù)字192021…7980可以被4，5，9，11整除，難度較大．