Question

在綜合實踐活動課中，王老師出了這樣一道題：
如圖1，在矩形ABCD中，M是BC的中點，過點M作ME∥AC交BD于點E，作MF∥BD交AC于點F．求證：四邊形OEMF是菱形．
做完題后，同學們按照老師的要求進行變式或拓展，提出新的問題讓其它同學解答．
（1）小明同學說：“我把條件中的‘矩形ABCD’改為‘菱形ABCD’，如圖2所示，發(fā)現四邊形OEMF是矩形．”請給予證明；
（2）小芳同學說：“我把條件中的‘點M是BC的中點’改為‘點M是BC延長線上的一個動點’，發(fā)現點F落在AC的延長線上，如圖3所示，此時OB、ME、MF三條線段之間存在某種數量關系．”請你寫出這個結論，并說明理由．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）首先證得四邊形OEMF是平行四邊形，然后利用菱形的對角線互相垂直證得∠EOF=90°，利用有一個角是直角的平行四邊形是矩形證得結論；
（2）根據四邊形OEMF是平行四邊形，得到OE=MF，根據四邊形ABCD是矩形，得到OB=

1

2

BD，OC=

1

2

AD，且AC=BD，從而得到OB=OC，進一步得到BE=ME，從而證得結論OB=BE-OE=ME-MF．

解答：（1）證明：∵ME∥AC，MF∥BD，
∴四邊形OEMF是平行四邊形．
又∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠EOF=90°，
∴四邊形OEMF是矩形．

（2）結論：OB=ME-MF．
理由如下：∵ME∥AC，MF∥BD，
∴四邊形OEMF 是平行四邊形，
∴OE=MF，
又∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB=

1

2

BD，OC=

1

2

AD，且AC=BD，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
由ME∥AC可知，∠OCB=∠EMB，
∴BE=ME，
∴OB=BE-OE=ME-MF．

點評：本題考查了矩形的性質及判斷、菱形的性質、平行四邊形的性質及判定，涉及的知識點比較多，較復雜，但難度不算很大．