Question

10．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，O是AB上一點(diǎn)，⊙O與BC相切于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，連接AE，若AF=2BF，則∠CAE的度數(shù)是30°．

Answer 1

分析 連接OE、EF，根據(jù)圓周角定理和切線的性質(zhì)得出OE⊥BC，∠AEF=90°，然后根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出OE=OF=EF，求得∠OEF=60°，得出∠AEO=30°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得∠CAE=∠AEO=30°．

解答 解：連接OE、EF，
∵⊙O與BC相切于點(diǎn)E，
∴OE⊥BC，
∵AF是直徑，
∴∠AEF=90°，
∵OA=OF=$\frac{1}{2}$AF，AF=2BF，
∴OF=BF，
∴OE=OF=EF，
∴∠OEF=60°，
∴∠AEO=90°-60°=30°，
∵AC⊥BC，OE⊥BC，
∴OE∥AC，
∴∠CAE=∠AEO=30°，
故答案為30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等，作出輔助線構(gòu)建等邊三角形是解題的關(guān)鍵．