Question

10．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，O是AB上一點，⊙O與BC相切于點E，交AB于點F，連接AE，若AF=2BF，則∠CAE的度數(shù)是30°．

Answer 1

分析 連接OE、EF，根據圓周角定理和切線的性質得出OE⊥BC，∠AEF=90°，然后根據直角三角形斜邊中線的性質得出OE=OF=EF，求得∠OEF=60°，得出∠AEO=30°，然后根據平行線的性質即可求得∠CAE=∠AEO=30°．

解答 解：連接OE、EF，
∵⊙O與BC相切于點E，
∴OE⊥BC，
∵AF是直徑，
∴∠AEF=90°，
∵OA=OF=$\frac{1}{2}$AF，AF=2BF，
∴OF=BF，
∴OE=OF=EF，
∴∠OEF=60°，
∴∠AEO=90°-60°=30°，
∵AC⊥BC，OE⊥BC，
∴OE∥AC，
∴∠CAE=∠AEO=30°，
故答案為30°．

點評 本題考查了切線的性質，圓周角定理，直角三角形斜邊中線的性質，平行線的性質等，作出輔助線構建等邊三角形是解題的關鍵．