【題目】如圖,在正方形中,是邊上的動點(與點、不重合),且,于點,與的延長線交于點,連接、.
(1)求證:①;②;
(2)若,在點運動過程中,探究:
①線段的長度是否改變?若不變,求出這個定值;若改變,請說明理由;
②當為何值時,為等腰直角三角形.
【答案】(1)①見解析;②見解析;(2)①在點運動過程中,的長度不變,且CG=2;②AE=.
【解析】
(1)①由題意易得△DEF是等腰直角三角形,即得DE=DF,然后根據(jù)正方形的性質(zhì)和SAS即可證得結(jié)論;
②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得,根據(jù)余角的性質(zhì)可得,從而可得,于是可得結(jié)論;
(2)①由、可得,然后根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即得結(jié)論;
②解法一:如圖1,延長交于點,易證是等腰直角三角形,即,設(shè),則,由為等腰直角三角形可得,進而可得,由即可求出x的值,即為AE的值;
解法二:如圖2,過點作交的延長線于點,根據(jù)AAS易證,所以,,從而可得是等腰直角三角形,由CG=2可得MC的長,進而可得MB的長,即為AE的長;
解法三:如圖3,過點作于點,由B、C、F、G四點共圓可得∠BCG=∠BFG=45°,從而可得是等腰直角三角形,可得,進而可得NH的長,由即可求出FC,即為AE的長.
(1)證明:①∵四邊形是正方形,
∴,.
∵,
∴△為等腰直角三角形,
∴,
∴,
∴,
∴;
②∵,
∴.
∵,
∴.
∵,
∴,
∴,
∴;
(2)①在點運動過程中,的長度不變.
∵,,
∴.
∵,
∴(定值);
②解法一:如圖1,延長交于點.
∵,,
∴.
∵,
∴是等腰直角三角形,即.
設(shè),則.
∵為等腰直角三角形,,
∴.
∵,
∴,
∴.
在等腰中,∵,∴.
解得:,即.
②解法二:如圖2,過點作交的延長線于點,則∠MGB=∠CGF,
∵∠M+∠MCG=90°,∠GCF+∠MCG=90°,
∴∠M=∠GCF,
又∵GB=GF,
∴,
∴,,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∴,
∴.
②解法三:如圖3,過點作于點,
∵∠BGF+∠BCF=180°,
∴B、C、F、G四點共圓,
∴∠BCG=∠BFG=45°,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∴.
∵,即,
∴,
∴.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某軟件開發(fā)公司開發(fā)了A、B兩種軟件,每種軟件成本均為1400元,售價分別為2000元、1800元,這兩種軟件每天的銷售額共為112000元,總利潤為28000元.
(1)該店每天銷售這兩種軟件共多少個?
(2)根據(jù)市場行情,公司擬對A種軟件降價銷售,同時提高B種軟件價格.此時發(fā)現(xiàn),A種軟件每降50元可多賣1件,B種軟件每提高50元就少賣1件.如果這兩種軟件每天銷售總件數(shù)不變,那么這兩種軟件一天的總利潤最多是多少?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AC是⊙O的直徑,BC是⊙O的弦,點P是⊙O外一點,連接PA,PB,AB,已知∠PBA=∠C.
(1)求證:PB是⊙O的切線;
(2)連接OP,若OP∥BC,且OP=8,⊙O的半徑為,求BC的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知⊙O的半徑長為1,AB、AC是⊙O的兩條弦,且AB=AC,BO的延長線交AC于點D,連接OA、OC.
(1)求證:△OAD∽△ABD;
(2)當△OCD是直角三角形時,求B、C兩點的距離;
(3)記△AOB、△AOD、△COD的面積分別為S1、S2、S3,如果S22=S1S3,試證明點D為線段AC的黃金分割點.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,M,N是以AB為直徑的⊙O上的點,且=,弦MN交AB于點C,BM平分∠ABD,MF⊥BD于點F.
(1)求證:MF是⊙O的切線;
(2)若CN=3,BN=4,求CM的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在銳角中,,, ,將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn),得到.(1)如圖1,當點在線段的延長線上時,則的度數(shù)為______________度;(2)如圖2,點為線段中點,點是線段上的動點,在繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中,點的對應(yīng)點是點,則線段長度最小值是_____________.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,中,,,點在邊上運動(不與點,重合),以為邊作正方形,使點在正方形內(nèi),連接,則下列結(jié)論:①;②當時,;③點到直線的距離為;④面積的最大值是.其中正確的結(jié)論是______.(填寫所有正確結(jié)論的序號)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在△ABC中,按以下步驟作圖:①以點B為圓心,任意長為半徑作弧,分別交BA、BC于點M、N;再以點N為圓心,MN長為半徑作弧交前面的弧于點F,作射線BF交AC的延長線于點E.
②以點B為圓心,BA長為半徑作弧交BE于點D,連接CD.
請你觀察圖形,解答下列問題:
(1)求證:△ABC≌△DBC;
(2)若∠A=100°,∠E=50°,求∠ACB的度數(shù).
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