Question

【題目】已知二次函數(shù)y=ax2﹣2ax+c（a＜0）的最大值為4，且拋物線過(guò)點(diǎn)（，﹣），點(diǎn)P（t，0）是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，拋物線與y軸交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D．

(1)求該二次函數(shù)的解析式，及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)求|PC﹣PD|的最大值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)設(shè)Q（0，2t）是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若線段PQ與函數(shù)y=a|x|2﹣2a|x|+c的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，求t的取值．

Answer 1

【答案】（1），D（1，4）；（2），P（﹣3，0）；（3）t的取值是≤t＜3或t=或t≤﹣3．

【解析】

試題（1）先利用對(duì)稱(chēng)軸公式x=計(jì)算對(duì)稱(chēng)軸，即頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），再將兩點(diǎn)代入列二元一次方程組求出解析式；

（2）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：可知P、C、D三點(diǎn)共線時(shí)|PC﹣PD|取得最大值，求出直線CD與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）先把函數(shù)中的絕對(duì)值化去，可知，此函數(shù)是兩個(gè)二次函數(shù)的一部分，分三種情況進(jìn)行計(jì)算：①當(dāng)線段PQ過(guò)點(diǎn)（0，3），即點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，兩圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)線段PQ過(guò)點(diǎn)（3，0），即點(diǎn)P與點(diǎn)（3，0）重合時(shí)，兩函數(shù)有兩個(gè)公共點(diǎn)，寫(xiě)出t的取值；②線段PQ與當(dāng)函數(shù)（x≥0）時(shí)有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求t的值；③當(dāng)線段PQ過(guò)點(diǎn)（﹣3，0），即點(diǎn)P與點(diǎn)（﹣3，0）重合時(shí)，線段PQ與當(dāng)函數(shù)（x＜0）時(shí)也有一個(gè)公共點(diǎn)，則當(dāng)t≤﹣3時(shí)，都滿足條件；綜合以上結(jié)論，得出t的取值．

（1）∵的對(duì)稱(chēng)軸為：x=1，∴拋物線過(guò)（1，4）和（，）兩點(diǎn)，代入解析式得：，解得：a=﹣1，c=3，∴二次函數(shù)的解析式為：，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）；

（2）∵C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）、（1，4）；

由三角形兩邊之差小于第三邊可知：

|PC﹣PD|≤|CD|，∴P、C、D三點(diǎn)共線時(shí)|PC﹣PD|取得最大值，此時(shí)最大值為，|CD|=，由于CD所在的直線解析式為y=x+3，將P（t，0）代入得t=﹣3，∴此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P為（﹣3，0）；

（3）的解析式可化為：

設(shè)線段PQ所在的直線解析式為y=kx+b，將P（t，0），Q（0，2t）代入得：

線段PQ所在的直線解析式：y=﹣2x+2t，分三種情況討論：

①當(dāng)線段PQ過(guò)點(diǎn)（0，3），即點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，線段PQ與函數(shù)有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)t=，當(dāng)線段PQ過(guò)點(diǎn)（3，0），即點(diǎn)P與點(diǎn)（3，0）重合時(shí)，t=3，此時(shí)線段PQ與有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以當(dāng)≤t＜3時(shí)，線段PQ與有一個(gè)公共點(diǎn)；

②將y=﹣2x+2t代入（x≥0）得：

，，令△=16﹣4（﹣1）（3﹣2t）=0，t=＞0，所以當(dāng)t=時(shí)，線段PQ與也有一個(gè)公共點(diǎn)；

③當(dāng)線段PQ過(guò)點(diǎn)（﹣3，0），即點(diǎn)P與點(diǎn)（﹣3，0）重合時(shí)，線段PQ只與（x＜0）有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)t=﹣3，所以當(dāng)t≤﹣3時(shí)，線段PQ與也有一個(gè)公共點(diǎn)，綜上所述，t的取值是≤t＜3或t=或t≤﹣3．