Question

如圖，四邊形ABCD是一個(gè)邊長為a cm的正方形，M是其邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)B出發(fā)，以b cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，以2bcm/s的速度沿BC延長線BP運(yùn)動(dòng)，當(dāng)M到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)N也停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E為線段CN的中點(diǎn)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．
（1）求證：CM=DE；
（2）過點(diǎn)M作射線MQ∥BP，過點(diǎn)N作NF⊥MQ，連接DF，CF，DM．當(dāng)t=

 

時(shí)，四邊形DMCF為菱形？

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的判定

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BC=CD，再求出BM=CE，然后利用“邊角邊”證明△BCM和△CDE全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可；
（2）根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分可得BM=

1

2

CD，然后求解即可．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，
∵點(diǎn)M的速度是bcm/s，點(diǎn)N的速度是2bcm/s，
∴BM=btcm，CN=2btcm，
∵點(diǎn)E為線段CN的中點(diǎn)，
∴CE=

1

2

CN=btcm，
∴BM=CE，
在△BCM和△CDE，

BM=CE ∠B=∠DCE BC=CD

，
∴△BCM≌△CDE（SAS），
∴CM=DE；

（2）解：∵M(jìn)Q∥BP，
∴MF⊥CD，
∵四邊形DMCF為菱形，
∴BM=

1

2

CD，
∴bt=

1

2

a，
解得t=

a

2b

．
故答案為：

a

2b

．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，熟記各性質(zhì)與判定方法是解題的關(guān)鍵，（2）利用菱形的對角線互相垂直平分列出等式是解題的關(guān)鍵．