Question

7．已知△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)F在AC的中點(diǎn)，AD⊥BF，垂足為E，若DE=2，則△ADF的面積為$\frac{15}{4}$．

Answer 1

分析 過點(diǎn)C作CG⊥AC交AD的延長線于G，求出∠ABF=∠CAG，然后利用“角邊角”證明△ABF和△CAF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AF=CG，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠G=∠AFB，從而得到∠CFD=∠G，再求出∠DCF=∠DCG=45°，然后利用“角角邊”證明△CDF和△CDG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CG=CF，DG=DF，然后等量代換得到AF=CF，設(shè)EF=x，然后表示出AE、BE、BF，再表示出DF，然后利用勾股定理列出方程求出x，從而得到AD、EF，再利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解．

解答 解：如圖，過點(diǎn)C作CG⊥AC交AD的延長線于G，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAG+∠BAE=90°，
∵BF⊥AD，
∴∠ABF+∠BAE=90°，
∴∠ABF=∠CAG，
在△ABF和△CAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABF=∠CAG}\\{AB=AC}\\{∠BAF=∠ACG=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CAG（ASA），
∴AF=CG，∠G=∠AFB，
∵∠AFB=∠CFD，
∴∠CFD=∠G，
∵AB=AC，∠BAC=90°，CG⊥AC，
∴∠DCF=∠DCG=45°，
在△CDF和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CFD=∠G}\\{∠DCF=∠DCG}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△CDG（AAS），
∴CG=CF，DG=DF，
∴AF=CF=$\frac{1}{2}$AC，
設(shè)EF=x，則AE=2x，BE=2AE=4x，
AG=BF=BE+EF=4x+x=5x，
∵DE=2，
∴DF=DG=5x-2x-2=3x-2，
在Rt△DEF中，DE²+EF²=DF²，
2²+x²=（3x-2）²，
解得x=$\frac{3}{2}$，
所以，AE=2×$\frac{3}{2}$+2=5，
△ADF的面積=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{3}{2}$=$\frac{15}{4}$．
故答案為：$\frac{15}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，作輔助線構(gòu)造出全等三角形并二次證明三角形全等，然后利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．