Question

11．如圖，拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-9與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，連接BC、AC．
（1）求AB和OC的長；
（2）點E從點A出發(fā)，沿x軸向點B運動（點E與點A、B不重合）．過點E作直線l平行BC，交AC于點D．設(shè)AE的長為m，△ADE的面積為s，求s關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，連接CE，求△CDE面積的最大值并此時寫出點E坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線解析式，可求出A、B、C的坐標(biāo)，繼而可得出AB和OC的長；
（2）根據(jù)ED∥BC，可判斷△AED∽△ABC，再由相似三角形的面積比等于相似比平方，可得出s關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合題意可得m的取值范圍；
（3）根據(jù)S_△EDC=S_△AEC-S_△AED，可得△CDE的面積關(guān)于m的表達(dá)式，利用配方法可求出△CDE面積的最大值，進(jìn)而得出EO的長，即可得出E點坐標(biāo)．

解答 解：（1）在y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-9中，
令x=0，得y=-9，
∴C（0，-9）；
令y=0，即0=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-9，
解得：x₁=-3，x₂=6，
∴A（-3，0）、B（6，0），
∴AB=9，OC=9．

（2）∵ED∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△AED}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AE}{AB}$）²，即：$\frac{s}{\frac{1}{2}×9×9}$=（$\frac{m}{9}$）²，
∴s=$\frac{1}{2}$m²（0＜m＜9）．

（3）∵S_△AEC=$\frac{1}{2}$AE•OC=$\frac{9}{2}$m，S_△AED=s=$\frac{1}{2}$m²，
∴S_△EDC=S_△AEC-S_△AED=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m=-$\frac{1}{2}$（m-$\frac{9}{2}$）²+$\frac{81}{8}$，
當(dāng)m=$\frac{9}{2}$時，S_△EDC取得最大，最大值為$\frac{81}{8}$．
故△CDE的最大面積為$\frac{81}{8}$，
此時，OE=AE-AO=$\frac{9}{2}$-3=$\frac{3}{2}$，
故E點坐標(biāo)為：（$\frac{3}{2}$，0）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了相似三角形的判定與性質(zhì)、配方法求二次函數(shù)最值等知識，正確利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出s與m的函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．