Question

20．如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC邊的右側(cè)，連接DA、DB、DC，若AD=DC，∠ADB=∠ACB，AD=5，BD=11，則BC邊的長為$\frac{24}{5}$$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 過A作AE⊥BC于E，AM⊥BD于M，AH⊥CD交CD的延長線于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB，由已知條件推出A，B，C，D四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ADH=∠ABC=∠ACB=∠ADB，證得AD平分∠BDH，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到AM=AH，推出Rt△ADM≌Rt△AHD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DM=DH，證△ABM≌△ACH，于是得到BM=CH，求得BM=CD+DH=5+DM，根據(jù)勾股定理得到AM=$\sqrt{A{D}^{2}-D{M}^{2}}$=4，AB=$\sqrt{A{M}^{2}+B{M}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．

解答 解：過A作AE⊥BC于E，AM⊥BD于M，AH⊥CD交CD的延長線于H，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB，
∴A，B，C，D四點(diǎn)共圓，
∴∠ADH=∠ABC=∠ACB=∠ADB，
∴AD平分∠BDH，
∴AM=AH，
在Rt△ADM與Rt△AHD中，$\left\{\begin{array}{l}{AM=AH}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADM≌Rt△AHD，
∴DM=DH，
在△ABM與△ACH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AMB=∠AHC=90°}\\{∠ABM=∠ACH}\\{AM=AH}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACH，
∴BM=CH，
∴BM=CD+DH=5+DM，
∴5+DM+DM=11，
∴DM=3，BM=8，
∵AM=$\sqrt{A{D}^{2}-D{M}^{2}}$=4，
∴AB=$\sqrt{A{M}^{2}+B{M}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵cos∠ADM=$\frac{DM}{AD}=\frac{3}{5}$，
∴cos∠ACE=$\frac{3}{5}$=$\frac{CE}{AC}$，
∴CE=$\frac{3}{5}$AC=$\frac{12}{5}$$\sqrt{5}$，
∴BC=$\frac{24}{5}$$\sqrt{5}$．
故答案為：$\frac{24}{5}$$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的定義，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．