Question

1．如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，O是BC的中點，如果在AB和AC上分別有一個動點M、N在移動，且在移動時保持AN=BM．
（1）請你判斷△OMN的形狀，并說明理由．
（2）若BC=2$\sqrt{2}$，則MN的最小值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）連接OA，只需證△OAN≌△OBM即可迅速得出結(jié)論；
（2）取NM中點D，連接OD、AD，則根據(jù)（1）中結(jié)論可知MN=OD+AD，而OD+AD≥OA，即OA就是MN的最小值．

解答 解：（1）△OMN是等腰直角三角形．
理由：連接OA，如圖1，

∵在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，O是BC的中點，
∴AO=BO=CO，∠B=∠C=45°；
在△OAN和OBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=BO}\\{∠NAO=∠B}\\{AN=BM}\end{array}\right.$，
∴△OAN≌△OBM（SAS），
∴ON=OM，∠AON=∠BOM；
又∵∠BOM+∠AOM=90°，
∴∠NOM=∠AON+∠AOM=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形；
（2）取MN的中點D，連接OD，AD，如圖2，

∵∠MON=∠NAM=90°，
∴OD=OA=$\frac{1}{2}$MN，
∴MN=OD+AD，
∵OD+AD≥AO，
∴MN≥AO，
∴MN的最小值為AO，
∵BC=2$\sqrt{2}$，
∴AO=$\sqrt{2}$，
∴MN的最小值為$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理、三角形三邊關(guān)系等知識點，難度適中．“中點”是本題的題眼，在初中階段，與“中點”的幾何知識并不多，同學(xué)們可自行總結(jié)一下“中點”有限幾種用法，今后再遇到與“中點”有關(guān)的幾何題目，就會反應(yīng)迅速，作出輔助線也就很容易．