Question

13．如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為CD邊上一點，DE=3，M為AE的中點，過點M作直線分別與AD、BC相交于點P、Q．若PQ=AE，則AP的長是$\frac{25}{8}$或$\frac{7}{8}$．

Answer 1

分析 ①過P作PN⊥BC，交BC于點N，則∠PNQ=∠APN=90°，由正方形的性質(zhì)得出AD=DC=PN=4，∠D=90°，由勾股定理求出AE，得出AM，由HL證明Rt△ADE≌Rt△PNQ，得出∠DAE=∠NPQ，證出∠AMP=90°，再證明△APM∽△AED，得出對應(yīng)邊成比例，即可得出結(jié)果；②根據(jù)對稱性得出PD=$\frac{25}{8}$，求出AP=$\frac{7}{8}$；即可得出答案．

解答 解：①過P作PN⊥BC，交BC于點N，如圖所示：
則∠PNQ=∠APN=90°，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=DC=PN=4，∠D=90°，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
在Rt△ADE和Rt△PNQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=PQ}&{\;}\\{AD=PN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），
∴∠DAE=∠NPQ，
∵∠APQ+∠NPQ=90°，
∴∠APQ+∠DAE=90°，
∴∠AMP=90°，
∵M為AE的中點，
∴AM=$\frac{1}{2}$AE=2.5，
∵∠AMP=∠D=90°，∠PAM=∠EAD，
∴△APM∽△AED，
∴$\frac{AP}{AE}=\frac{AM}{AD}$，即$\frac{AP}{5}=\frac{2.5}{4}$，
解得：AP=$\frac{25}{8}$；
②根據(jù)對稱性得：PD=$\frac{25}{8}$，
∴AP=AD-PD=4-$\frac{25}{8}$=$\frac{7}{8}$．
故答案為：$\frac{25}{8}$或$\frac{7}{8}$．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．