【題目】如圖,在平面直角坐標系中,,點的坐標為,拋物線經(jīng)過兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點是直線上方拋物線上的一點,過點作軸于點,交線段于點,使.
①求點的坐標和的面積;
②在直線上是否存在點,使為直角三角形?若存在,直接寫出符合條件的所有點的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)①,3;②存在,點的坐標為或或或
【解析】
(1)先求出點C的坐標,再結(jié)合銳角三角函數(shù)求出AC的長度,進而得出點A的坐標,將點A和點B代入函數(shù)解析式即可得出答案;
(2)①先求出直線AB的解析式,設(shè),并寫出,根據(jù)“”求出x的值,再利用割補法求出面積;②設(shè),利用兩點間距離公式分別求出AB、BM和AM的長度,再分情況進行討論(i)當(dāng)時,(ii)當(dāng)時,(iii)當(dāng)時,并利用勾股定理求出y的值.
解:(1),
,
,
,
,
中,,
,
,
,
,
把代入得
,
解得,
∴拋物線的解析式為;
(2)①
的解析式為,
設(shè),則,
,
,
解得,(舍去)或-1,
在中,當(dāng)時,y=4
,
②存在.
在直線上,且,
設(shè),
,
,
,
分三種情況:
(i)當(dāng)時,有,
,
解得,
或;
(ii)當(dāng)時,有,
,
解得;
,
(iii)當(dāng)時,有,
,
解得;
,
綜上,點的坐標為或或或;
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在數(shù)學(xué)拓展課《折疊矩形紙片》上,小林折疊矩形紙片ABCD進行如下操作:①把△ABF翻折,點B落在CD邊上的點E處,折痕AF交BC邊于點F;②把△ADH翻折,點D落在AE邊長的點G處,折痕AH交CD邊于點H.若AD=6,AB=10,則的值是( 。
A.B.C.D.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,E是AB邊的中點,沿EC對折矩形ABCD,使B點落在點P處,折痕為EC,連結(jié)AP并延長AP交CD于F點,連結(jié)CP并延長CP交AD于Q點.給出以下結(jié)論:
①四邊形AECF為平行四邊形;
②∠PBA=∠APQ;
③△FPC為等腰三角形;
④△APB≌△EPC.
其中正確結(jié)論的個數(shù)為( 。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】如圖1,拋物線y1=ax2﹣x+c與x軸交于點A和點B(1,0),與y軸交于點C(0,),拋物線y1的頂點為G,GM⊥x軸于點M.將拋物線y1平移后得到頂點為B且對稱軸為直線l的拋物線y2.
(1)求拋物線y2的解析式;
(2)如圖2,在直線l上是否存在點T,使△TAC是等腰三角形?若存在,請求出所有點T的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)點P為拋物線y1上一動點,過點P作y軸的平行線交拋物線y2于點Q,點Q關(guān)于直線l的對稱點為R,若以P,Q,R為頂點的三角形與△AMG全等,求直線PR的解析式.
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【題目】在正方形ABCD中,對角線AC與BD交于點O;在Rt△PMN中,∠MPN90°.
(1)如圖1,若點P與點O重合且PM⊥AD、PN⊥AB,分別交AD、AB于點E、F,請直接寫出PE與PF的數(shù)量關(guān)系;
(2)將圖1中的Rt△PMN繞點O順時針旋轉(zhuǎn)角度α(0°<α<45°).
①如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中(1)中的結(jié)論依然成立嗎,若成立,請證明;若不成立,請說明理由;
②如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)∠DOM15°時,連接EF,若正方形的邊長為2,請求出線段EF的長;
③如圖3,旋轉(zhuǎn)后,若Rt△PMN的頂點P在線段OB上移動(不與點O、B重合),當(dāng)BD3BP時,猜想此時PE與PF的數(shù)量關(guān)系,并給出證明;當(dāng)BDm·BP時,請直接寫出PE與PF的數(shù)量關(guān)系.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,菱形OABC的頂點A在x軸上,頂點B的坐標為(8,4),點P是對角線OB上一個動點,點D的坐標為(0,﹣2),當(dāng)DP與AP之和最小時,點P的坐標為_____.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,將拋物線y=﹣x2+bx+c與直線y=﹣x+1相交于點A(0,1)和點B(3,﹣2),交x軸于點C,頂點為點F,點D是該拋物線上一點.
(1)求拋物線的函數(shù)表達式;
(2)如圖1,若點D在直線AB上方的拋物線上,求△DAB的面積最大時點D的坐標;
(3)如圖2,若點D在對稱軸左側(cè)的拋物線上,且點E(1,t)是射線CF上一點,當(dāng)以C、B、D為頂點的三角形與△CAE相似時,求所有滿足條件的t的值.
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【題目】問題提出:如何將一個長為17,寬為1的長方形經(jīng)過剪一剪,拼一拼,形成一個正方形.(下列所有圖中每個小方格的邊長都為1,剪拼過程中材料均無剩余)
問題探究:我們從長為5,寬為1的長方形入手.
(1)如圖①是一個長為5,寬為1的長方形.把這個長方形剪一剪、拼一拼后形成正方形,則正方形的面積應(yīng)為_____________,設(shè)正方形的邊長為,則_________;
(2)我們可以把有些帶根號的無理數(shù)的被開方數(shù)表示成兩個正整數(shù)平方和的形式,比如.類比此,可以將(1)中的表示成_____________;
(3)的幾何意義可以理解為:以長度2和3為直角邊的直角三角形的斜邊長為;類比此,(2)中的可以理解為以長度________和__________為直角邊的直角三角形斜邊的長;
(4)剪一剪:由(3)可畫出如圖②的分割線,把長方形分成五部分;
(5)拼一拼:把圖②中五部分拼接得到如圖③的正方形;
問題解決:仿照上面的探究方法請把圖④中長為17,寬為1的長方形剪一剪,在圖⑤中畫出拼成的正方形.(說明:圖④的分割過程不作評分要求,只對圖⑤中畫出的最終結(jié)果評分)
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【題目】(模型介紹)
古希臘有一個著名的“將軍飲馬問題”,大致內(nèi)容如下:古希臘一位將軍,每天都要巡查河岸同側(cè)的兩個軍營.他總是先去營,再到河邊飲馬,之后,再巡查營.如圖①,他時常想,怎么走才能使每天走的路程之和最短呢?大數(shù)學(xué)家海倫曾用軸對稱的方法巧妙地解決了這個問題.如圖②,作點關(guān)于直線的對稱點,連結(jié)與直線交于點,連接,則的和最。埬阍谙铝械拈喿x、理解、應(yīng)用的過程中,完成解答.理由:如圖③,在直線上另取任一點,連結(jié),,,∵直線是點,的對稱軸,點,在上,
(1)∴__________,_________,∴____________.在中,∵,∴,即最。
(歸納總結(jié))
在解決上述問題的過程中,我們利用軸對稱變換,把點在直線同側(cè)的問題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè),從而可利用“兩點之間線段最短”,即轉(zhuǎn)化為“三角形兩邊之和大于第三邊”的問題加以解決(其中點為與的交點,即,,三點共線).由此,可拓展為“求定直線上一動點與直線同側(cè)兩定點的距離和的最小值”問題的數(shù)學(xué)模型.
(模型應(yīng)用)
(2)如圖④,正方形的邊長為4,為的中點,是上一動點.求的最小值.
解析:解決這個問題,可借助上面的模型,由正方形對稱性可知,點與關(guān)于直線對稱,連結(jié)交于點,則的最小值就是線段的長度,則的最小值是__________.
(3)如圖⑤,圓柱形玻璃杯,高為,底面周長為,在杯內(nèi)離杯底的點處有一滴蜂蜜,此時一只螞蟻正好在外壁,離杯上沿與蜂蜜相對的點處,則螞蟻到達蜂的最短路程為_________.
(4)如圖⑥,在邊長為2的菱形中,,將沿射線的方向平移,得到,分別連接,,,則的最小值為____________.
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