【題目】(模型介紹)

古希臘有一個著名的“將軍飲馬問題”,大致內(nèi)容如下:古希臘一位將軍,每天都要巡查河岸同側(cè)的兩個軍營.他總是先去營,再到河邊飲馬,之后,再巡查營.如圖①,他時常想,怎么走才能使每天走的路程之和最短呢?大數(shù)學(xué)家海倫曾用軸對稱的方法巧妙地解決了這個問題.如圖②,作點關(guān)于直線的對稱點,連結(jié)與直線交于點,連接,則的和最小.請你在下列的閱讀、理解、應(yīng)用的過程中,完成解答.理由:如圖③,在直線上另取任一點,連結(jié),,∵直線是點的對稱軸,點,上,

(1)∴__________,_________,∴____________.在中,∵,∴,即最小.

(歸納總結(jié))

在解決上述問題的過程中,我們利用軸對稱變換,把點在直線同側(cè)的問題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè),從而可利用“兩點之間線段最短”,即轉(zhuǎn)化為“三角形兩邊之和大于第三邊”的問題加以解決(其中點的交點,即,三點共線).由此,可拓展為“求定直線上一動點與直線同側(cè)兩定點的距離和的最小值”問題的數(shù)學(xué)模型.

(模型應(yīng)用)

2)如圖④,正方形的邊長為4,的中點,上一動點.求的最小值.

解析:解決這個問題,可借助上面的模型,由正方形對稱性可知,點關(guān)于直線對稱,連結(jié)于點,則的最小值就是線段的長度,則的最小值是__________

3)如圖⑤,圓柱形玻璃杯,高為,底面周長為,在杯內(nèi)離杯底的點處有一滴蜂蜜,此時一只螞蟻正好在外壁,離杯上沿與蜂蜜相對的點處,則螞蟻到達蜂的最短路程為_________

4)如圖⑥,在邊長為2的菱形中,,將沿射線的方向平移,得到,分別連接,,則的最小值為____________

【答案】1,,;(2;(317;(4

【解析】

1)根據(jù)對稱性即可求解;

2)根據(jù)正方形的對稱性知B關(guān)于AC的對稱點是D,連接ED,則ED的最小值;

3)先將玻璃杯展開,再根據(jù)勾股定理求解即可;

4)分析知:當垂直時,值最小,再根據(jù)特殊角計算長度即可;

解:(1)根據(jù)對稱性知:

故答案為:,,;

2)根據(jù)正方形的對稱性知B關(guān)于AC的對稱點是D,連接ED

ED的最小值

正方形的邊長為4EAB中點

的最小值是;

3)由圖可知:螞蟻到達蜂的最短路程為 的長度:

4)∵在邊長為2的菱形ABCD中,,將沿射線的方向平移,得到

垂直時,值最小

∴四邊形是矩形,

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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,,點的坐標為,拋物線經(jīng)過兩點.

1)求拋物線的解析式;

2)點是直線上方拋物線上的一點,過點軸于點,交線段于點,使

求點的坐標和的面積;

在直線上是否存在點,使為直角三角形?若存在,直接寫出符合條件的所有點的坐標;若不存在,請說明理由.

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1)求證:FED∽△AEB

2)若,AC2,連接CE,求AE的長;

3)在點E運動過程中,若BGCG,求tanCBF的值.

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【題目】如圖,一次函數(shù)ykx+b的圖象與x軸,y軸分別相交于AB兩點,且與反比例函數(shù)y=﹣的圖象在第二象限交與點C,如果點A為的坐標為(2,0),BAC的中點.

1)求點C的坐標及k、b的值.

2)求出一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的另一個交點的坐標,并直接寫出當時,x的取值范圍.

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【題目】每年夏季全國各地總有未成年人因溺水而喪失生命,令人痛心疾首.今年某校為確保學(xué)生安全,開展了“遠離溺水·珍愛生命”的防溺水安全知識競賽.現(xiàn)從該校七、八年級中各隨機抽取10名學(xué)生的競賽成績(百分制)進行整理、描述和分析(成績得分用表示,共分成四組:CD),下面給出了部分信息:

七年級10名學(xué)生的競賽成績是:99,80,99,8699,9690,10089,82

八年級10名學(xué)生的競賽成績在組中的數(shù)據(jù)是:94,90,94

八年級抽取的學(xué)生競賽成績扇形統(tǒng)計圖:

七、八年級抽取的學(xué)生競賽成績統(tǒng)計表:

年級

七年級

八年級

平均數(shù)

92

中位數(shù)

93

94

眾數(shù)

99

100

方差

52

50.4

根據(jù)以上信息,解答下列問題:

1)直接寫出上述圖表中的值;

2)根據(jù)以上數(shù)據(jù),你認為該校七、八年級學(xué)生掌握防溺水安全知識較好?請說明理由(一條理由即可);

3)該校七、八年級共720人參加了此次競賽活動,估計參加此次競賽活動成績優(yōu)秀()的學(xué)生人數(shù)是多少?

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1)求證:為⊙的切線;

2)已知,填空:

①當__________時,四邊形是菱形;

②若,當__________時,為等腰直角三角形.

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A.B.

C.D.

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