Question

8．已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，AB是直徑，AD=DC，分別延長(zhǎng)BA，CD交于點(diǎn)E，BF垂直EC，交EC的延長(zhǎng)線于F．若EA=AO，BC=6，則圓O的半徑4，CF的長(zhǎng)$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 圓的半徑OD可以通過$\frac{OD}{BC}=\frac{EO}{EB}$解決，因?yàn)镽t△BCF∽R(shí)t△BAD得$\frac{BC}{BA}=\frac{CF}{AD}$，即$\frac{CF}{BC}=\frac{AD}{AB}$，欲求CF只要求出AD，因?yàn)锳D=CD，所以解決求出CD即可解決問題．

解答 解：如圖，連接AC，BD，OD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BCA=∠BDA=90°．
∵BF⊥EC，
∴∠BFC=90°，
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠BCF=∠BAD，
∴Rt△BCF∽R(shí)t△BAD，
∴$\frac{BC}{BA}=\frac{CF}{AD}$，即$\frac{CF}{BC}=\frac{AD}{AB}$，
∵OD是⊙O的半徑，AD=CD，
∴OD垂直平分AC，
∴OD∥BC，
$\frac{DE}{CD}=\frac{EO}{OB}$
∴△EOD∽△EBC，
∴$\frac{OE}{EB}$=$\frac{DE}{CE}$=$\frac{OD}{BC}$，
AE=AO，即OE=2OB，BE=3OB，BC=6
∴$\frac{OE}{BE}$=$\frac{ED}{CE}$=$\frac{OD}{6}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{DE}{CD}$=2，
∴OD=4，CE=$\frac{3}{2}$DE，
又∵∠EDA=EBC，∠E=∠E，
∴△AED∽△CEB，
∴DE•EC=AE•BE，
∴DE•$\frac{3}{2}$DE=4×12，
∴DE=4$\sqrt{2}$，
∴CD=2$\sqrt{2}$，則AD=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{CF}{6}$=$\frac{2\sqrt{2}}{8}$，
∴CF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故答案為4，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理的推論、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及垂直定理的推論等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是巧用比例式，已知三個(gè)量求第四個(gè)量．