Question

4．如圖：拋物線y=ax²+bx+c的圖象交x軸于A（x₁，0）、B（2，0），交y軸正半軸于C，且OA=OC．下列結(jié)論①$\frac{a-b}{c}$＞0；②ac=b-1；③a=-$\frac{1}{2}$；④2b+c=2，其中正確的是②③④．

Answer 1

分析 首先根據(jù)圖象判斷a＞0，c＞0，b＞0，即可判斷$\frac{a-b}{c}$＜0，由OB=OC進(jìn)而用c表示出點(diǎn)B的坐標(biāo)，把點(diǎn)B坐標(biāo)代入方程得到ac²-bc+c=0，進(jìn)而得到ac=b-1，A（-c，0），B（2，0），根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題得到x₁和x₂是方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，于是-2c=$\frac{c}{a}$，則可求得a=-$\frac{1}{2}$，根據(jù)b=ac+1，a=-$\frac{1}{2}$，則2b+c=2（-$\frac{1}{2}$c+1）+c=2．據(jù)此選擇出正確答案．

解答 解：據(jù)圖象可知a＜0，c＞0，b＞0，
∴$\frac{a-b}{c}$＜0，故①錯(cuò)誤；
∵OB=OC，
∴OB=c，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（-c，0），
∴ac²-bc+c=0，
∴ac-b+1=0，
∴ac=b-1，故②正確；
∵A（-c，0），B（2，0），拋物線線y=ax²+bx+c與x軸交于A（-c，0）和B（2，0）兩點(diǎn)，
∴2•（-c）=$\frac{c}{a}$，
∴-2=$\frac{1}{a}$，
∴a=-$\frac{1}{2}$，故③正確；
∵ac-b+1=0，
∴b=ac+1，a=-$\frac{1}{2}$，
∴2b+c=2（-$\frac{1}{2}$c+1）+c=2，
即2b+c=2，故④正確；
綜上正確的有②③④，
故答案為②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大�。寒�(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱(chēng)軸的位置：當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱(chēng)軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱(chēng)軸在y軸右．（簡(jiǎn)稱(chēng)：左同右異）；常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定：△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．