Question

△ABC和△DEF是兩個等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的頂點E位于BC的中點處．
①如圖甲，設DE與AB交于點M，EF與AC交于點N，求證：△BEM∽△CNE；
②如圖乙，將△DEF繞點E旋轉，使得DE與BA的延長線交于點M，EF與AC交于點N．求證：△ECN∽△MEN．

Answer 1

考點：相似三角形的判定

專題：

分析：（1）由△ABC和△DEF是兩個等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，易得∠2=∠4，又由∠B=∠C=45°，即可證得△BEM∽△CNE；
（2）與（1）同理△BEM∽△CNE，可得

BE

CN

=

EM

NE

，又由BE=EC，即可得

EC

CN

=

EM

NE

，然后由∠ECN=∠MEN=45°，證得△ECN∽△MEN．

解答：證明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∴∠1+∠2=135°
又∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠3=45°
∴∠1+∠4=135°
∴∠2=∠4，
∵∠B=∠C=45°，
∴△BEM∽△CNE；

（2）與（1）同理△BEM∽△CNE，
∴

BE

CN

=

EM

NE

，
又∵BE=EC，
∴

EC

CN

=

EM

NE

，
∴

EC

EM

=

CN

NE

，
又∵∠ECN=∠MEN=45°，
∴△ECN∽△MEN．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質以及等腰直角三角形性質．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．