【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線y=﹣x+8交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)C在AB上,AC=5,CD∥OA,CD交y軸于點(diǎn)D.
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),以每秒1個(gè)單位長度的速度沿OA勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā),以每秒個(gè)單位長度的速度沿AB勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(0<t<3),△PCQ的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在(2)的條件下,過點(diǎn)Q作RQ⊥AB交y軸于點(diǎn)R,連接AD,點(diǎn)E為AD中點(diǎn),連接OE,求t為何值時(shí),直線PR與x軸相交所成的銳角與∠OED互余.
【答案】(1)D(0,4);(2)S=t2﹣6t+12;(3)t=或
【解析】
(1)首先證明AC=BC,利用平行線等分線段定理推出OD=BD=4即可解決問題.
(2)如圖2,作PF⊥AB于點(diǎn)F,求出PF,CQ即可解決問題.
(3)分兩種情形:當(dāng)R在y軸的負(fù)半軸上,如圖3中,當(dāng)R在y軸的正半軸上,如圖4中,用兩種方法求出OR,構(gòu)建方程即可解決問題.
解:(1)如圖1中,
∵直線y=﹣x+8交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,
∴A(6,0),B(0,8)
∴OA=6,OB=8,
∴AB===10,
∵AC=5,
∴AC=BC=5,
∵CD∥OA,
∴BD=OD=4,
∴D(0,4).
(2)如圖2,作PF⊥AB于點(diǎn)F,PA=6﹣t
PF=PAsin∠PAF=(6﹣t),
∴CQ=5﹣t,
S=CQPF=(5﹣t)(6﹣t)=t2﹣6t+12.
(3)如圖3中,作OG⊥AD 于點(diǎn)G,
在Rt△AOD中,AD===2,
∵S△AOD=ODOA=ADOG
∴OG==,
∴DG===,
∵DE=AE=,
∴GE=DE﹣DG=﹣=,
∵∠OED+∠OPR=90°,∠OED+∠EOG=90°,
∴∠OPR=∠EOG,
∴tan∠OPR=tan∠EOG=
∵BR===﹣t,
∵tan∠OPR==,OP=t,
∴OR=t,
當(dāng)R在y軸的負(fù)半軸上,如圖3中,
OR=BR﹣8=﹣t,
∴t=﹣t,
解得t=,
當(dāng)R在y軸的正半軸上,如圖4中,
OR=8﹣BR=t﹣,
∴t=t﹣,
解得t=,
綜上,當(dāng)t值為或,直線PR與x軸相交所成的銳角與∠OED互余.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx﹣3(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0)和點(diǎn)B,且OB=3OA,與y軸交于點(diǎn)C,此拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)D.
(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)如果點(diǎn)E是y軸上的一點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合),當(dāng)BE⊥DE時(shí),求點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)如果點(diǎn)F是拋物線上的一點(diǎn).且∠FBD=135°,求點(diǎn)F的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】觀察下列等式,探究其中的規(guī)律:①+﹣1=,②+﹣=,③+﹣=,④+﹣=,….
(1)按以上規(guī)律寫出第⑧個(gè)等式:_______;
(2)猜想并寫出第n個(gè)等式:_________;
(3)請證明猜想的正確性.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,以扇形 OAB 的頂點(diǎn) O 為原點(diǎn),半徑 OB 所在的直線為 x 軸,建立平面直角坐標(biāo)系,點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(2,0),若拋物線 (n 為常數(shù))與扇形 OAB 的邊界總有兩個(gè)公共點(diǎn)則 n 的取值范圍是( )
A.n>-4B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線 y x2 mx 2m 4(m>0).
(1)證明:該拋物線與 x 軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn);
(2)設(shè)該拋物線與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為 A,B(點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的右側(cè)),與 y 軸交于點(diǎn) C,A,B,三點(diǎn)都在圓 P 上.
①若已知 B(-3,0),拋物線上存在一點(diǎn) M 使△ABM 的面積為 15,求點(diǎn) M 的坐標(biāo);
②試判斷:不論 m 取任何正數(shù),圓 P 是否經(jīng)過 y 軸上某個(gè)定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo),若不是,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,AE平分∠DAB,已知CE=6,BE=8,DE=10.
(1)求證:∠BEC=90°;
(2)求cos∠DAE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,按以下步驟作圖:①以點(diǎn)A為圓心,以任意長為半徑作弧,分別交AO,AB于點(diǎn)M,N;②以點(diǎn)O為圓心,以AM長為半徑作弧,交OC于點(diǎn)M';③以點(diǎn)M'為圓心,以MN長為半徑作弧,在∠COB內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)N';④過點(diǎn)N'作射線ON'交BC于點(diǎn)E.若AB=8,則線段OE的長為_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于二次函數(shù)y= +(1-2a)x(a>0),下列說法錯(cuò)誤的是( 。
A. 當(dāng)時(shí),該二次函數(shù)圖象的對稱軸為y軸
B. 當(dāng)a>時(shí),該二次函數(shù)圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)
C. 該二次函數(shù)的圖象的對稱軸可為x=1
D. 當(dāng)x>2時(shí),y的值隨x的值增大而增大
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知內(nèi)接于,是直徑,點(diǎn)在上,,過點(diǎn)作,垂足為,連接交邊于點(diǎn).
(1)求證:;
(2)求證:;
(3)連接,設(shè)的面積為,,求四邊形的面積(用含有的式子表示).
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