Question

18．如圖，Rt△AOB的一條直角邊OB在x軸上，雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）經(jīng)過斜邊OA的中點C，與另一直角邊交于點D，若S_△OCD=3，則k的值為4．

Answer 1

分析 過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S是個定值，即S=$\frac{1}{2}$|k|．

解答 解：如圖，過C點作CE⊥x軸，垂足為E．
∵Rt△OAB中，∠OBA=90°，
∴CE∥AB，
∵C為Rt△OAB斜邊OA的中點C，
∴CE為Rt△OAB的中位線，
∵△OEC∽△OBA，
∴$\frac{OC}{OA}$=$\frac{1}{2}$．
∵雙曲線的解析式是y=$\frac{k}{x}$，即xy=k
∴S_△BOD=S_△COE=$\frac{1}{2}$|k|，
∴S_△AOB=4S_△COE=2|k|，
由S_△AOB-S_△BOD=S_△AOD=2S_△DOC=6，得2k-$\frac{1}{2}$k=6，
∴k=4．
故答案為4．

點評 本題考查了反比函數(shù)k的幾何意義，過圖象上的任意一點作x軸、y軸的垂線，所得三角形的面積是$\frac{1}{2}$|k|，是經(jīng)�？疾榈闹�識點，也體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想．