Question

已知：如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點，EF⊥EC交AB于F，連接FC．（AB＞AE）
（1）△AEF與△ECF是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請說明理由；
（2）當∠AEF=30°時，△AEF與△BCF相似嗎？為什么？

Answer 1

考點：相似三角形的判定,矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）要求兩三角形相似，已知條件有一組直角，我們只需再證得一組對應角相等即可得出兩三角形相似，根據(jù)FE⊥EC，因此∠AEF和∠DCE都是∠DEC的余角，因此∠AEF=∠DCE，我們只要再得出∠DCE=∠FCE即可，可通過構(gòu)建全等三角形來求解，延長FE交CD于G，我們不難得出△AEF和△GED全等，那么EF=EG，再根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，即可得出∠FCE=∠GCE也就得出了∠AEF=∠ECF，于是就湊齊了兩三角形相似的條件．
（2）相似．利用“兩角法”證得兩個三角形相似．

解答：解：（1）△AEF∽△ECF．證明如下：
延長FE與CD的延長線交于G，
∵E為AD的中點，AE=DE，∠AEF=∠GED，
∴在△AEF與△DEG中，

∠A=∠EDG AE=DE ∠AEF=∠DEG

∴△AEF≌△DEG（ASA）．
∴EF=EG，∠AFE=∠DGF
∴∠EGC=∠EFC，
∴∠AFE=∠EGC=∠EFC．
又∵∠A=∠FEC=90°，
∴Rt△AEF∽Rt△ECF；

（2）相似．理由如下：
由（1）知，∠AFE=∠EGC=∠EFC．
則易求∠AEF=∠FCE=∠GCE=60°，
∴∠FCB=90°-30°-30°=30°=∠AEF．
∴在△AEF與△BCF中，∠AEF=∠FCB，∠A=∠B=90°，
∴△AEF∽△BCF．

點評：本題主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)相似三角形得出相關(guān)線段間的比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵．