Question

如圖1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AD是BC邊上的高，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，以D為圓心，DE為半徑作圓弧EF，使點(diǎn)A在DF上，連接AE、BF．

（1）試猜想線段AE和BF的數(shù)量關(guān)系，并寫出你的結(jié)論；
（2）將扇形DEF繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后（旋轉(zhuǎn)角大于0°且小于180°），DF、DE分別交AB、AC于點(diǎn)P、Q．如圖2，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．
（3）在（2）的條件下，請(qǐng)連接EF、PQ，求證：EF∥PQ且AE⊥BF．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形斜邊上的高就是中線，得出AD=BD=DC，因?yàn)镈F和DE是圓的半徑所以相等，根據(jù)SAS即可求得；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠BDF=∠ADE，然后根據(jù)SAS即可求得；
（3）根據(jù)三角形求得得出∠BFD=∠AED，根據(jù)對(duì)頂角相等得出∠FHG=∠EHD，根據(jù)等量加等量還是等量得出∠FGE=90°，再求出A、P、D、Q四點(diǎn)共圓，然后根據(jù)圓周角的性質(zhì)得出∠DPQ=∠DAQ=45°，因?yàn)椤螮FD=45°，根據(jù)同位角相等兩直線平行即可證得；

解答：
（1）AE=BF，
證明：如圖1，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AD是BC邊上的高，
∴AD=BD=DC，
在△BDF與△ADE中

BD=AD ∠BDF=∠ADE=90° DF=DE

∴△BDF≌△ADE（SAS），
∴AE=BF；

（2）成立；
證明：如圖2，∵∠ADF=∠CDE，AD⊥BC，
∠BDF=∠ADE，
由（1）可知AD=BD，
在△BDF與△ADE中

BD=AD ∠BDF=∠ADE DF=DE

∴△BDF≌△ADE（SAS），
∴AE=BF；

（3）如圖2，連接PQ，、EF，延長(zhǎng)EA交BF于G，交DF于H，由（2）可知△BDF≌△ADE，
∴∠BFD=∠AED，
∵∠FHG=∠EHD，
∴∠BFD+∠FHG=∠AED+∠EHD，
∵∠AED+∠EHD=90°，
∴∠BFD+∠FHG=90°，
∴∠FGE=90°，
即AE⊥BF．
∵∠BAC=∠EDF=90°，
∴A、P、D、Q四點(diǎn)共圓，
∴∠DPQ=∠DAQ=45°，
∵DF=DE，∠EDF=90°，
∴∠EFD=45°，
∴∠EFD=∠QPD=45°，
∴EF∥PQ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及三角形求得的判定和性質(zhì)；四點(diǎn)共圓是本題的難點(diǎn)．