【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,BAC=45°,AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的,連接BE、CF相交于點D

(1)求證:BE=CF;

(2)當四邊形ACDE為平行四邊形時,求證:△ABE為等腰直角三角形.

【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.

【解析】

(1)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AE=AB,AF=AC,∠EAF=∠BAC,則∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF,即∠EAB=∠FAC,利用AB=AC可得AE=AF,于是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義,△AEB可由△AFC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到,然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BE=CF;

(2) 首先證得△AFC為等腰直角三角形,然后即可證得△ABE為等腰直角三角形.

證明: (1)∵△AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的,

AE=AB,AF=AC,EAF=BAC,

∴∠EAF+BAF=BAC+BAF,即∠EAB=FAC,

AB=AC,

AE=AF,

∴△AEB可由△AFC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到,

BE=CF;

(2)ABCD中,∠EAC+∠ACF=180°,

∴∠EAF=BAC=45°,

∴∠FAB+ACF=90°,

AF=AC,

∴∠F=ACF,

∴∠FAB+F=90°,

∴∠ACF=45°,

∴△AFC為等腰直角三角形,

∴△ABE為等腰直角三角形.

故答案為:(1)證明見解析;(2)證明見解析.

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