Question

已知：如圖，∠BCP=∠A，∠AHB=∠APH，
（1）求證：△BCP∽△HAP；
（2）若AP：PB=2：3，且C為HB的中點(diǎn)，求HA：BC的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由∠AHB=∠APH，∠A為公共角，可證得△HAP∽△BAH，所以∠B=∠AHP，結(jié)合條件可證得△BCP∽△HAP；
（2）由∠BCP=∠A，∠B為公共角可證得△BCP∽△BAH，所以△HAP∽△BHA∽△BCP，AP：PB=2：3，BC=CH，所以設(shè)AP=2x，PB=3x，BC=CH=y，則BA=5x，BH=2y，由BP：BH=BC：BA，可求得x與y之間的關(guān)系，且HA：BC=BC：BA=y：5x，代入可求得．

解答：（1）證明：因?yàn)椤螦HB=∠APH，且∠A為公共角，
所以△HAP∽△BAH，
所以∠B=∠AHP，
又因?yàn)椤螧CP=∠A，
所以△BCP∽△HAP；
（2）解：因?yàn)椤螧CP=∠A，且∠B為公共角
所以△BCP∽△BAH，
所以△HAP∽△BHA∽△BCP，
因?yàn)锳P：PB=2：3，且BC=CH，
所以設(shè)AP=2x，PB=3x，BC=CH=y，則BA=5x，BH=2y，
由BP：BH=BC：BA，
所以3x：2y=y：5x，
解得y=

30

2

x．
所以HA：BC=BC：BA=y：5x=

30

2

x：5x=

30

：10．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是搭建橋梁，即找一個(gè)中間三角形進(jìn)行過渡，從而達(dá)到證明的目的．