Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，PB與⊙O相切于點B，線段OP與弦BC垂直并相交于點D，OP與弧BC相交于點E，連接AC．
（1）求證：∠PBC=∠BAC，且PB•AC=BA•CD；
（2）若PB=10，sin∠P=

3

5

，求PE的長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由PB為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到AP垂直于AB，可得出∠PBO為直角，得到∠PBD與∠DBO互余，再由AB為圓O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，可得出∠BCA為直角，得到∠DBO與∠A互余，根據(jù)同角的余角相等可得出∠PBC=∠A，再由一對直角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出三角形BPD與三角形ABC相似，由相似得比例，再由OD垂直于BC，利用垂徑定理得到BD=CD，等量代換可得證；
（2）在直角三角形BPD中，由PB及sinP的值求出BD的長，再利用勾股定理求出PD的長，進而確定出BC的長，由第一問兩三角形相似得到的比例式，將各自的值代入求出AB的上，求出半徑BO的長，在直角三角形BPO中，由BP及BO的長，利用勾股定理求出OP的長，用OP-OE即可求出PE的長．

解答：（1）證明：∵PB是⊙O的切線，AB是直徑，
∴∠PBO=90°，∠C=90°，
∴∠PBC+∠ABC=90°，∠A+∠ABC=90°，
∴∠PBC=∠A，
又∵OP⊥BC，
∴∠BDP=∠C=90°，
∴△PBD∽△BAC，
∴BP：AB=BD：AC，
∵在⊙O中，BD⊥OD，
∴BD=CD，
∴BP：AB=CD：AC，
∴PB•AC=BA•CD；

（2）解：∵sinP=

3

5

，且BP=10，
∴

BD

BP

=

3

5

，
∴BD=6，
∴BC=2BD=12，
∵在Rt△BDP中，PD=

BP2-BD2

=8，
又∵△PBD∽△BAC，
∴BP：AB=PD：BC，
∴AB=15，
∴B0=OE=7.5，
在Rt△APO中，根據(jù)勾股定理得：OP=12.5，
∴PE=OP-OE=12.5-7.5=5．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．