Question

如圖1，在菱形OABC中，已知OA=2

3

，∠AOC=60°，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過O，C，B三點(diǎn)．
（Ⅰ）求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)并求拋物線的解析式．
（Ⅱ）如圖2，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，直線AG垂直BC于點(diǎn)G，點(diǎn)P在直線AG上．
（1）當(dāng)OP+PC的最小值時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）在（1）的條件下，連接PE、PF、EF得△PEF，問在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得以M，B，C為頂點(diǎn)的三角形與△PEF相似？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,等腰三角形的性質(zhì),菱形的性質(zhì),相似三角形的判定

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（Ⅰ）作CH⊥OA于點(diǎn)H，通過解三角函數(shù)求得A、C的坐標(biāo)，由菱形的性質(zhì)得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后應(yīng)用待定系數(shù)法即可求得解析式．
（Ⅱ）（1）先求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)OP+PC最小時(shí)，由對稱性可知，OP+PC=OB．由于OB是菱形ABCO的對角線，即可求得∠AOB=30°，然后通過解直角三角函數(shù)即可求得AP的長，進(jìn)而求得P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）先求得△PEF是底角為30°的等腰三角形，根據(jù)OC=BC=BD=2

3

，∠BOC=∠BDC=30°，求得△OBC∽△BCD∽△PEF，又因?yàn)锳Q=4，AG=3，BC=2

3

，所以GQ=1，BG=

3

，所以，tan∠GBQ=

1

3

=

3

3

，即∠GBQ=30°，得出△BQC也是底角為30°的等腰三角形，即可求得符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答：解：（Ⅰ）如圖1，作CH⊥OA于點(diǎn)H，
四邊形OABC是菱形，OA=2

3

，∠AOC=60°，OC=2

3

，
OH=sin60°•2

3

=

3

，
CH=cos60°•2

3

=3，
A點(diǎn)坐標(biāo)為（2

3

，0），
C點(diǎn)的坐標(biāo)為（

3

，3），
由菱形的性質(zhì)得B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3

3

，3）．
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，根據(jù)題意得

c=0 3a+ 3 b+c=3 27a+3 3 b+c=3

，
解得a=-

1

3

，b=

4 3

3

，c=0，
所以，y=-

1

3

x²+

4 3

3

x．

（Ⅱ）（1）如圖2，由（Ⅰ）知拋物線的解析式為：y=-

1

3

x²+

4 3

3

x，
即對稱軸為x=2

3

，頂點(diǎn)為Q（2

3

，4）．
設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，令y=0，得，x²-4

3

x=0，
解得x₁=0，x₂=4

3

，
即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4

3

，0），
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2

3

，0），對稱軸為x=2

3

，
且AG⊥BC，
∴直線AG為拋物線的對稱軸．
∵B、C兩點(diǎn)關(guān)于直線AG對稱，
∴當(dāng)OP+PC最小時(shí)，
由對稱性可知，OP+PC=OB．
即OB，AG的交點(diǎn)為點(diǎn)P，
∵∠AOC=60°，OB為菱形OABC的對角線，
∴∠AOB=30°，
∴AP=OAtan30°=2

3

×

3

3

=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2

3

，2）．

（2）連接OB，CD，CQ，BQ，
由（1）知直線AG為拋物線的對稱軸，
則四邊形ODBC是關(guān)于AG成軸對稱的圖形．
∵點(diǎn)E是OB中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物
線的對稱軸上，
∴PE=PF，EF∥OD，CQ=BQ
∠PEF=∠BOA=30°，
即△PEF是底角為30°的等腰三角形．
在△OBC、△BCD中，
OC=BC=BD=2

3

，∠BOC=∠BDC=30°，
∴△OBC∽△BCD∽△PEF，
∴符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0），（4

3

，0）．
又∵AQ=4，AG=3，BC=2

3

，
∴GQ=1，BG=

3

，
∴tan∠GBQ=

1

3

=

3

3

，
即∠GBQ=30°，
△BQC也是底角為30°的等腰三角形，
∴Q點(diǎn)的（2

3

，4），
∴符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，0），（4

3

，0），（2

3

，4）．

點(diǎn)評：本題考查了直角三角函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求解析式，菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定等；連接OB，CD，CQ，BQ，構(gòu)建相似三角形是本題的關(guān)鍵．