Question

7．如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+2x+c過點(diǎn)A、B且與y軸交與點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)P為拋物線對稱軸x=l上一動點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求當(dāng)AP+CP最小時點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先把C（0，3）代入y=ax²+2x+c可求得c=3，再利用對稱軸方程可求出a=-1，于是得到拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；
（2）利用拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，通過解方程-x²+2x+3=0得到A（-1，0），B（3，0），連結(jié)BC交直線x=1于點(diǎn)P，如圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷此時PC+PA最小，利用待定系數(shù)法可計(jì)算出直線BC的解析式為y=-x+3，然后計(jì)算x=1的函數(shù)值即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）把C（0，3）代入y=ax²+2x+c得c=3，
因?yàn)閽佄锞�的對稱軸為直線x=1，
所以-$\frac{2}{2a}$=1，解得a=-1，
所以拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；
（2）當(dāng)y=0時，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=-3，則A（-1，0），B（3，0），
連結(jié)BC交直線x=1于點(diǎn)P，連接PA，如圖，
∵PA=PB，
∴PA+PC=PC+PB=BC，
∴此時PC+PA最小，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（3，0），C（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-x+3，
當(dāng)x=1時，y=-x+3=2，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)時，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．也考查了最短路徑問題．