Question

18．如圖A（-4，0），B（0，4），BD平分∠ABO．

（1）若AE⊥BE，求證：BD=2AE；
（2）若AE⊥BE，求證：OE=AE；
（3）若∠OEB=45°，求證：AE⊥BE；
（4）若∠APO=45°，問(wèn)PA，PB有何位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)AE交BO于點(diǎn)F，由題意得出OA=OB，證出∠AFO=∠BDO，由AAS證明△FAO≌△DBO，得出AF=BD．證出AB=FB，由等腰三角形的三線(xiàn)合一性質(zhì)得出AE=FE=$\frac{1}{2}$AF，即可得出結(jié)論；
（2）由直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)得出OE=$\frac{1}{2}$AF=AE即可．
（3）取AB中點(diǎn)M，以為圓心，AM長(zhǎng)為半徑作圓，那么ABO三點(diǎn)皆在⊙M上；證出∠OEB=∠OAB，得出點(diǎn)E在⊙M上，由圓周角定理得出∠AEB=90°，即可得出結(jié)論；
（4）由∠APO=∠OBA，得出點(diǎn)P也在⊙M上，由圓周角定理得出∠APB=90°，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：延長(zhǎng)AE交BO于點(diǎn)F，如圖1所示：
∵A（-4，0），B（0，4），
∴OA=OB，
∵AE⊥BE，
∴∠AFO+∠OBD=90°，
∵∠BDO+∠OBD=90°，
∴∠AFO=∠BDO，
在△FAO和△DBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFO=∠BDO}&{\;}\\{∠AOF=∠BOD=90°}&{\;}\\{OA=OB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△FAO≌△DBO（AAS），
∴AF=BD．
在△ABF中，∵AE⊥BE，BE是∠BAF的角平分線(xiàn)，
∴AB=FB，
∴AE=FE=$\frac{1}{2}$AF，
∴BD=2AE；
（2）證明：在RT△AOF中，E是斜邊AF的中點(diǎn)，
∴OE=$\frac{1}{2}$AF=AE．
（3）證明：取AB中點(diǎn)M，以為圓心，AM長(zhǎng)為半徑作圓，如圖2所示：
則A、B、O三點(diǎn)皆在⊙M上； 
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠OEB=∠OAB，
∴點(diǎn)E在⊙M上，
∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BE；
（4）解：∵∠APO=45°，∠APO是劣弧ABO所對(duì)的圓周角，且∠APO=∠OBA，
∴點(diǎn)P也在⊙M上，
∵AB是直徑，
∴∠APB=90°，
∴AP⊥PB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．