Question

如圖，A、B分別是x軸上位于原點左、右兩側的點．P（3，m），m＞0，直線PA交y軸于點C（0，2），S_△AOP=9．
（1）求點A的坐標及m的值；
（2）若S_△BOP=S_△DOP，求直線BD的解析式；
（3）在（2）的情況下，已知存在點E，使以點A、B、P、E頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點E的坐標．

Answer 1

考點：一次函數綜合題

專題：綜合題

分析：（1）求得△AOC的面積，即可求得A的坐標，利用待定系數法即可求得AC的解析式，把x=3代入解析式即可求得m的值；
（2）設直線BD的解析式為y=ax+c（a≠0），再把P（3，3）代入得出3a+c=3，故可得出D（0，c），B（-

c

a

，0），再根據三角形的面積公式即可得出結論；
（3）如圖所示，使以點A、B、P、E頂點的四邊形是平行四邊形的點E位置有三個，分別求出坐標即可．

解答：解：（1）∴S_△AOC=S_△AOP-S_△COP=9-3=6，
∴S_△AOC=

1

2

OA•OC=6，即

1

2

×OA×2=6，
∴OA=6，
∴A的坐標是（-6，0），
設直線AP的解析式是y=kx+b，
將A與C坐標代入得：

-6k+b=0 b=2

，
解得：

k= 1 3 b=2

，
∴直線的解析式是y=

1

3

x+2，
當x=3時，y=3，即m=3；
（2）設直線BD的解析式為y=ax+c（a≠0），
∵P（3，3），
∴3a+c=3，
∴D（0，c），B（-

c

a

，0），
∵S_△BOP=S_△DOP，
∴

1

2

OD•3=

1

2

OB•3，即c=-

c

a

，
解得：a=-1，
∴c=6，
∴BD的解析式是：y=-x+6；
（3）如圖所示，E有三個位置，
∵A（-6，0），B（6，0），P（3，3），
∴PE₁=PE₂=AB=12，
∴E₁（15，3），E₂（-9，3），
由題意得：E₃與E₂關于點A對稱，
∴E₃（-3，-3），
則使以點A、B、P、E頂點的四邊形是平行四邊形的點E坐標為（15，3）或（-9，3）或（-3，-3）．

點評：此題屬于一次函數綜合題，涉及的知識有：待定系數法確定一次函數解析式，一次函數與坐標軸的交點，坐標與圖形性質，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．