Question

已知：如圖，在半徑為4的⊙O中，AB為直徑，以弦AC（非直徑）為對稱軸

AC

折疊后與AB相交于點D，如果AD=3DB，那么AC的長為（　　）

• A、2

  14

• B、2

  7

• C、4

  2

• D、6

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）,角平分線的性質(zhì),圓心角、弧、弦的關(guān)系,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：據(jù)折疊的性質(zhì)可得

AC

=

ADC

，再根據(jù)在同圓或等圓中，等弧所對的圓周角相等可得∠ABC=∠ACD+∠CAD，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠BDC=∠ACD+∠CAD，從而得到∠ABC=∠BDC，根據(jù)等角對等邊可得BC=CD，過點C作CE⊥BD于E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BE=DE=

1

2

BD，然后利用△ACE和△CBE相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出CE，在Rt△BCE中，利用勾股定理列式計算即可得解．

解答：解：如圖，

∵弧AC沿弦AC折疊交直徑AB于點D，
∴

AC

=

ADC

，
∴∠ABC=∠ACD+∠CAD，
在△BCD中，∠BDC=∠ACD+∠CAD，
∴∠ABC=∠BDC，
∴BC=CD，
過點C作CE⊥BD于E，
則BE=DE=

1

2

BD，
∵AD=3DB，AD+BD=8，
∴BD=2，AD=6，
∴AE=AD+DE=6+1=7，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠CAD=∠ACB=90°，
∵∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
又∵∠AEC=∠BEC=90°，
∴△ACE∽△CBE，
∴

AE

CE

=

CE

BE

，
∴CE=

AE•BE

=

7

，
在Rt△ACE中，AC=

AE2+CE2

=2

14

．
故選：A．

點評：本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應用，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出等腰三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．