Question

19．如圖，在平面直角坐標系中，點M、B的坐標分別為（6，8）、（24，0），過點O作⊙M，C、D為⊙M上兩點，$\widehat{OC}$=$\widehat{OA}$，E是BD中點．
（1）判斷AE與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）設(shè)F是AC的中點，P為⊙M上一點，且PF=PE，求點P的坐標；
（3）是否存在點C，使AE與⊙M相切？如果存在，求點C的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）作MH⊥OA于H，連結(jié)OD，如圖1，由垂徑定理得到OH=AH，則OA=2OH=12，于是可判斷點A為OB的中點，所以AE為△OBD的中位線，則AE=$\frac{1}{2}$OD，再根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到AC=OD，所以AE=$\frac{1}{2}$AC；
（2）如圖2，作MH⊥OA于H，連結(jié)OD、PA，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系，由$\widehat{OC}$=$\widehat{AD}$得∠OAC=∠AOD，由AE∥OD得到∠EAB=∠AOD，則∠OAC=∠EAB，接著證明△PAF≌△PAE得到∠PAF=∠PAE，所以∠PAO=∠PAB=90°，連結(jié)OP，如圖2，根據(jù)圓周角定理可判斷OP為⊙M的直徑，所以PA=2MH=16，于是得到P點坐標為（12，16）；
（3）如圖3，作MH⊥OA于H，DQ⊥AB于Q，連結(jié)OD、DA、AM，OD交AM于N，假設(shè)AE為⊙M的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得MA⊥AE，則AE∥OD，AE=$\frac{1}{2}$OD，所以AM⊥OD，根據(jù)垂徑定理得ON=DN，接著判斷四邊形AEDN為矩形得到∠ODB=90°，由AN垂直平分OD得到AD=AO=12，∠DAN=∠MAH，然后證明△DAN∽△MAH，利用相似比可計算出DN=$\frac{48}{5}$，則OD=2DN=$\frac{96}{5}$，于是利用勾股定理，在Rt△ODB中可計算出BD=$\frac{72}{5}$，利用面積法可計算出DQ=$\frac{288}{25}$，再在Rt△ODQ中利用勾股定理計算出OQ=$\frac{384}{25}$，則Q點坐標為（$\frac{384}{25}$，$\frac{288}{25}$），最后利用點C與點D關(guān)于直線x=6對稱可得到C點坐標．

解答 解：（1）AE=$\frac{1}{2}$AC．理由如下：
作MH⊥OA于H，連結(jié)OD，如圖1，
∵MH⊥OA，
∴OH=AH，
∵M（6，8），
∴OH=6，
∴OA=2OH=12，
∵B（12，0），
∴點A為OB的中點，
∵E是BD中點，
∴AE為△OBD的中位線，
∴AE=$\frac{1}{2}$OD，
∵$\widehat{OC}$=$\widehat{AD}$，
∴$\widehat{OC}$+$\widehat{OA}$=$\widehat{AD}$+$\widehat{OA}$，即$\widehat{AC}$=$\widehat{OD}$，
∴AC=OD，
∴AE=$\frac{1}{2}$AC；
（2）如圖2，作MH⊥OA于H，連結(jié)OD、PA，
∵$\widehat{OC}$=$\widehat{AD}$，
∴∠OAC=∠AOD，
∵AE為△OBD的中位線，
∴AE∥OD，
∴∠EAB=∠AOD，
∴∠OAC=∠EAB，
∵F是AC的中點，AE=$\frac{1}{2}$AC，
∴AF=AE，
在△PAF和△PAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{PF=PE}\\{PA=PA}\\{AF=AE}\end{array}\right.$，
∴△PAF≌△PAE，
∴∠PAF=∠PAE，
∴∠PAO=∠PAB=90°，
連結(jié)OP，如圖2，則OP為⊙M的直徑，
∴PA=2MH=16，
∴P點坐標為（12，16）；
（3）存在．
如圖3，作MH⊥OA于H，DQ⊥AB于Q，連結(jié)OD、DA、AM，OD交AM于N，
假設(shè)AE為⊙M的切線，
∴MA⊥AE，
∴AE∥OD，AE=$\frac{1}{2}$OD，
∴AM⊥OD，
∴ON=DN，
∴AE=DN，
∴四邊形AEDN為矩形，
∴∠ODB=90°，
∵AN垂直平分OD，
∴AD=AO=12，∠DAN=∠MAH，
∴△DAN∽△MAH，
∴DN：MH=DA：MA，即DN：8=12：10，
∴DN=$\frac{48}{5}$，
∴OD=2DN=$\frac{96}{5}$，
在Rt△ODB中，BD=$\sqrt{2{4}^{2}-（\frac{96}{5}）^{2}}$=$\frac{72}{5}$，
∵$\frac{1}{2}$DQ•OB=$\frac{1}{2}$OD•DB，
∴DQ=$\frac{\frac{96}{5}×\frac{72}{5}}{24}$=$\frac{288}{25}$，
在Rt△ODQ中，OQ=$\sqrt{（\frac{96}{5}）^{2}-（\frac{288}{25}）^{2}}$=$\frac{384}{25}$，
∴Q點坐標為（$\frac{384}{25}$，$\frac{288}{25}$），
∵$\widehat{OC}$=$\widehat{AD}$，
∴點C與點D關(guān)于直線x=6對稱，
∴C點坐標為（-$\frac{84}{25}$，$\frac{288}{25}$）．

點評 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的性質(zhì)、垂徑定理和圓心角、弧、弦的關(guān)系；會構(gòu)造三角形中位線，運用三角形中位線性質(zhì)得到線段之間的關(guān)系；理解坐標與圖形的性質(zhì)，靈活應用相似比和勾股定理進行幾何計算．