Question

已知在直角坐標(biāo)平面中，拋物線交x軸于點A﹙-1，0﹚，B﹙3，0﹚，交y軸于點C﹙0，3﹚，點P是拋物線上點C、B之間的一個動點．求當(dāng)點P運動到何處時，△PBC的面積最大并求出最大面積．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,二次函數(shù)的最值

專題：

分析：利用S_△PBC=（S_△PBO+S_△PCO）-S_△OCB進而利用x表示出三角形的面積，即可利用二次函數(shù)最值得出答案．

解答：解：設(shè)拋物線解析式為：y=a（x+1）（x-3）（a是常數(shù)，且a≠0）．
把點C（0，3）代入，得
3=a（0+1）（0-3），
解得 a=-1．
則拋物線的解析式為：y=-（x+1）（x-3）=-（x-1）²+4．
如圖，連接PO，則S_△PBC=（S_△PBO+S_△PCO）-S_△OCB．
S_△OCB=

CO×BO

2

=

3×3

2

=

9

2

．
設(shè)P（x，y），
∵P在拋物線的第一象限；
∴S_△PBO=

1

2

×3×|-（x-1）²+4|=-

3

2

（x-1）²+6；
S_△PCO=

1

2

×3x=

3x

2

，
S_△PBC=-

3

2

（x-1）²+6+

3x

2

-

9

2

=-

3

2

x²+

9

2

x=-

3

2

（x-

3

2

）²+

27

8

；
∵0＜x＜3，
∴當(dāng)x=

3

2

時；S_最大值=

27

8

．
則P（

3

2

，

15

4

）．
綜上所述，點P的坐標(biāo)是（

3

2

，

15

4

），△PBC的面積最大值是

27

8

．

點評：此題主要考查了頂點式求出二次函數(shù)解析式以及三角形面積求法和二次函數(shù)最值問題等知識，利用S_△PBC=（S_△PBO+S_△PCO）-S_△OCB得出是解題關(guān)鍵．