Question

如圖，P是正三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA=6，PB=8，PC=10．若將△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到△MAB，則點(diǎn)P與點(diǎn)M之間的距離為

 

，∠APB=

 

°．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的逆定理

專題：計(jì)算題

分析：連結(jié)MP，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AB=AC，∠BAC=60°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AM=AP，∠MAP=∠BAC=60°，BM=CP=10，則可判斷△AMP為等邊三角形，
所以MP=AP=6，∠APM=60°，在△PBM中通過計(jì)算得到PM²+PB²=BM²，根據(jù)勾股定理的逆定理得∠BPM=90°，然后利用∠APB=∠APM+BPM進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：連結(jié)MP，如圖，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到△MAB，
∴AM=AP，∠MAP=∠BAC=60°，BM=CP=10，
∴△AMP為等邊三角形，
∴MP=AP=6，∠APM=60°，
在△PBM中，PM=6，BM=10，PB=8，
∵6²+8²=10²，
∴PM²+PB²=BM²，
∴∠BPM=90°，
∴∠APB=∠APM+BPM=60°+90°=150°．
故答案為6，150．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理的逆定理．