Question

一個(gè)工人師傅要將一個(gè)正方形ABCD（四個(gè)角都是直角，四個(gè)邊都相等）的余料，修剪成如四邊形ABEF的零件．其中CE=

1

4

BC，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)．求證：AF平分∠DAE．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等，兩三角形相似求出△ADF和△FCE相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出

CF

AD

=

EF

AF

=

1

2

，再求出

DF

AD

=

1

2

，從而得到

DF

AD

=

EF

AF

，然后判斷出△ADF和△AFE相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠DAF=∠FAE，再根據(jù)角平分線的定義證明即可．

解答：證明：∵F是CD的中點(diǎn)，
∴DF=FC=

1

2

CD，
∵CE=

1

4

BC，
∴CE=

1

2

CD，
∴

CE

DF

=

CF

AD

=

1

2

，
又∵∠D=∠C=90°，
∴△ADF∽△FCE，
∴

CF

AD

=

EF

AF

=

1

2

，∠DAF=∠CFE，
∵∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠ADF+∠CFE=90°，
∴∠AFE=90°，
∵

DF

AD

=

1

2

，
∴

DF

AD

=

EF

AF

，
又∵∠D=∠AFE=90°，
∴△ADF∽△AFE，
∴∠DAF=∠FAE，
∴AF平分∠DAE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于求出△ADF和△AFE相似．