【題目】拋物線y=﹣x2+x﹣1與x軸交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,其頂點(diǎn)為D.將拋物線位于直線l:y=t(t<)上方的部分沿直線l向下翻折,拋物線剩余部分與翻折后所得圖形組成一個(gè)“M”形的新圖象.
(1)點(diǎn)A,B,D的坐標(biāo)分別為 , , ;
(2)如圖①,拋物線翻折后,點(diǎn)D落在點(diǎn)E處.當(dāng)點(diǎn)E在△ABC內(nèi)(含邊界)時(shí),求t的取值范圍;
(3)如圖②,當(dāng)t=0時(shí),若Q是“M”形新圖象上一動(dòng)點(diǎn),是否存在以CQ為直徑的圓與x軸相切于點(diǎn)P?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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【答案】(1)A(,0);B(3,0);D(,);(2)≤t≤;(3)存在以CQ為直徑的圓與x軸相切于點(diǎn)P,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,0)、(,0)、(1,0)或(,0).
【解析】
(1)利用二次函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo),再利用配方法即可找到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)由點(diǎn)D的坐標(biāo)結(jié)合對(duì)稱(chēng)找到點(diǎn)E的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法確定直線BC函數(shù)關(guān)系式,再利用一次函數(shù)圖像上的坐標(biāo)特征即可得出關(guān)于t的一元一次不等式組,解之即可得出t的取值范圍;
(3)假設(shè)存在,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,0),則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m,分或及三種情況,利用勾股定理找出關(guān)于m的一元二次方程,解出即可得出m的值,進(jìn)而可找出點(diǎn)P的坐標(biāo).
解:(1)當(dāng)y=0時(shí),﹣x2+x﹣1=0,
解得x1=,x2=3,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),
∵y=﹣x2+x﹣1=﹣(x-)2+,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,);
(2)∵點(diǎn)E、點(diǎn)D關(guān)于直線y=t對(duì)稱(chēng),
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(,2t﹣).
當(dāng)x=0時(shí),y=﹣x2+x﹣1=﹣1,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,﹣1).
設(shè)線段BC所在直線的解析式為y=kx+b,
將B(3,0)、C(0,﹣1)代入y=kx+b,
,解得:,
∴線段BC所在直線的解析式為y=x﹣1.
∵點(diǎn)E在△ABC內(nèi)(含邊界),
∴,
解得:≤t≤.
(3)當(dāng)x<或x>3時(shí),y=﹣x2+x﹣1;
當(dāng)≤x≤3時(shí),y=﹣x2+x﹣1.
假設(shè)存在,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,0),則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m.
①當(dāng)m<或m>3時(shí),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m,﹣x2+x﹣1)(如圖1),
∵以CQ為直徑的圓與x軸相切于點(diǎn)P,
∴CP⊥PQ,
∴CQ2=CP2+PQ2,
即m2+(﹣m2+m)2=m2+1+m2+(﹣m2+m﹣1)2,
整理,得:m1=,m2=,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,0)或(,0);
②當(dāng)≤m≤3時(shí),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m,x2-x +1)(如圖2),
∵以CQ為直徑的圓與x軸相切于點(diǎn)P,
∴CP⊥PQ,
∴CQ2=CP2+PQ2,即m2+(m2﹣m+2)2=m2+1+m2+(m2﹣m+1)2,
整理,得:11m2﹣28m+12=0,
解得:m3=,m4=2,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,0)或(1,0).
綜上所述:存在以CQ為直徑的圓與x軸相切于點(diǎn)P,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,0)、(,0)、(1,0)或(,0).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,∠ABC=30°,AD⊥AB,交直線BC于點(diǎn)D,若AB=4,CD=1,則AC的長(zhǎng)為_____.
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【題目】如圖,已知△ABC中,∠C=90°,AC=BC=,將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°到△AB′C′的位置,連接C′B,求C′B的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明跳起投籃,球出手時(shí)離地面m,球出手后在空中沿拋物線路徑運(yùn)動(dòng),并在距出手點(diǎn)水平距離4m處達(dá)到最高度4m.已知籃筐中心距地面3m,與球出手時(shí)的水平距離為8m,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.
(1)求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)此次投籃,球能否直接命中籃筐中心?若能,請(qǐng)說(shuō)明理由;若不能,在出手的角度和力度都不變的情況下,球出手時(shí)距離地面多少米可使球直接命中籃筐中心?
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【題目】如圖, A1A2 A3 , A4 A5 A6 , A7 A8 A9 ,, A3n2 A3n1A3n(n 為正整數(shù))均為等邊三角形,它們的邊長(zhǎng)依次是 2,4,6,,2n,頂點(diǎn) A3,A6,A9,A3n 均在 y 軸上,點(diǎn) O 是所有等邊三角形的中心,點(diǎn) A2020的坐標(biāo)為_________.
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【題目】已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn).
(1)求此拋物線的函數(shù)解析式;
(2)判斷點(diǎn)是否在此拋物線上;
(3)求出拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)的坐標(biāo).
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【題目】如圖,點(diǎn)A是射線y═(x≥0)上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B,以AB為邊在其右側(cè)作正方形ABCD,過(guò)點(diǎn)A的雙曲線y=交CD邊于點(diǎn)E,則的值為_____.
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【題目】已知:如圖1在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),速度為2cm/s;同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),速度為lcm/s;連接PQ,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(0<t<5),解答下列問(wèn)題:
(1)當(dāng)為t何值時(shí),PQ∥BC;
(2)設(shè)△AQP的面積為y(cm2),求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,并求出y的最大值;
(3)如圖2,連接PC,并把△PQC沿QC翻折,得到四邊形PQPC,是否存在某時(shí)刻t,使四邊形PQP'C為菱形?若存在,求出此時(shí)t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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【題目】如圖,點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=(x<0)的圖象上,點(diǎn)B在X軸的負(fù)半軸上,AB=AO=13,線段OA的垂直平分線交線段AB于點(diǎn)C,△BOC的周長(zhǎng)為23,則k的值為( )
A.60B.30C.-60D.-30
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